Лоренцовите уравнения

Първият странен атрактор е атрактора на Лоренц. Хаосът в атмосферата е един от първите обекти на съвременната теория на хаоса, защото самият Едуард Лоренц бил метеоролог. Неговият труд за детерминирано непериодично течение (Edward N. Lorenz, “Deterministic non-periodic flow” Journal of Atmospheric Sciences, 20, 130-41 (1963)) се смята от мнозина, че полага началото на теорията на хаоса. В него поведението на газообразна система, Лоренц опростява до система от три нелинейни диференциални уравнения:

dx / dt = a (y – x) dy / dt = x (b – z) – y dz / dt = xy – c z

Атракторът на Лоренц, представя поведението на газ в което и да е дадено време. Състояние в даден момент зависи от състоянието му в момента, предшестващ дадения.

Ако началните данни се изменят дори с нищожно малки величини, да кажем, съизмерими с колебанията на числото на Авогадро (от порядъка на 10^-24), проверката на състоянието на атрактора ще покаже абсолютно различни стойности. Това става заради това, че малките разлики се увеличават в резултат на рекурсията.

Въпреки това обаче, графиката на атрактора ще изглежда достатъчно сходна.

Двете системи ще имат абсолютно различни значения във всеки даден момент от време, но графиката на атрактора ще остане същата, т.е. тя изразява общото поведение на системата.

Газ в кутия

Да вземем една кутия, в която да затворим някакъв хомогенен газ. Нагряваме кутията и отваряме капака и наблюдаваме.

Какво се случва с газа? Всеки знае, че по-топлия газ се издига, а по-студения пада; и първоначално, тези части от газа по-близки до стените (до външния източник на топлина), ще се нагреят и ще започнат да издигат, а по-студеният газ ще започне да пада. При определени температури, газът ще оформи въртящи се цилиндрични вълма.

Ако тази система беше напълно затворена (без никакъв обмен на енергия с външната среда) за приложена определена температура, цикличното движение на газа би било постоянно (без промяна на траектория и скорост) и напълно предсказуемо.

Но Природата не е нито регулярна, нито предсказуема. Затова всъщност движението на газовите цилиндри е хаотично – те се завъртат известно време в една посока, после спират и тръгват обратно. После, очевидно произволно, газът възобновява посоката на движение отново. Тези колебания остават непредсказуеми по време и с непредсказуеми скорости.

Водно колело

Подобие на поведението на газообразната система е открита и в Лоренцовото водно колело. Това е мислен експеримент. Представете си водно колело, с произволно количество кофи (повече от 7). Кофите са закачени на шарнири подобно на виенското колело, така че винаги да са отворени отгоре. Отдолу на всяка кофа има малък отвор. Цялата тази система е под струя течаща вода.

При падащи малки водни количества (обем вода за единица време), водата ще изтича директно през долния отвор на кофата и нищо няма да се случи. Увеличавайки потока отгоре водното колело ще започне да се върти защото кофите ще се пълнят по-бързо отколкото се изпразват. По-тежките кофи завъртат колелото в своята посока и падат надолу, а по-леките се издигат, попадат под струята и съответно започват да се пълнят. Ако тази система е в устойчиво състояние, тя ще се държи като известните ни водни колела и турбини в една посока и с постоянна скорост.

Но уви, подобно на газа в нагрятата кутия и тази система се държи непредсказуемо – ще се върти в едно направление и после с тласък – в обратна посока.

За всичко са виновни пеперудите

Обяснението за неравномерното преместване на газа лежи на молекулярно ниво – все пак движението на атомите и молекулите във флуидите си е съвсем хаотично.

Молекулярните взаимодействия са много слаби, но те предизвикват случайните флуктуации, които водят до непредвидимите последствия. Най-важната характеристика на странния атрактор е чувствителността му към началните условия (“ефекта на пеперудата”). И най-малкото отклонение от началните условия може да доведе до огромни различия в резултата.

Според известната пословица: “Когато в дъждовните гори на Амазония една переруда размаха крилца – тя предизвиква ураган в Мексико”. Дали наистина можем да разчитаме на пеперудите?

Какво прави пеперудата? Измества една точка във фазовото пространство, което представя метеорологичното време. Да допуснем, че тази точка лежи на един макар и много сложен и многомерен атрактор – малък размах на пеперудата може да отдели точка от атрактора само за много кратко време, след което бързо се връща на същия атрактор в да кажем, близка, съседна точка B. Траекторията на отклонение A и B е екпоненциална, но тъй като лежат на един атрактор, те генерират подобно поведение във времето. Пеперудите сами не предизвикват ураганите (причините за тях са по-глобални), но могат да повлияят “леко” кога точно ще се случат.