Вълновите уравнения на Ервин Шрьодингер

В ежедневието си наблюдаваме два начина за пренос на енергия:

Снимка: Energycraft 1.Чрез материя – при движението й от едно място на друго (например, превозена с влак или благодарение на вятъра). В този случай енергията се предава чрез частици материя.

Снимка: Heinrich Rudolf Hertz 2. Чрез вълни – например електрическият ток (електромагнитни вълни), чиято енергия използваме широко в бита, радиовълните, които захранват нашите телевизори, клетъчни телефони.

С други думи, в макросвета, който обитаваме, всички носители на енергия се разделят на два типа - корпускулярни (състоящи се от материални частици) или вълнови. Всички вълни без изключение - морските, сеизмичните, радиовълните се описват с едни и същи вълнови уравнения. Затова ако и микрочастиците имат вълнови свойства, то те също трябва да се описват с вълнови уравнения. През 1926 г. австрийският физик Шрьодингер (Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger) предлага такова уравнение, описващо поведението на вълните на дьо Бройл. Това вълново уравнение, наречено уравнение на Шрьодингер е основното уравнение на вълновата квантова механика. Той приложил към субатомните частици класическото диференциално уравнение за вълновата функция, описваща движението на обикновените вълни в тримерното пространство като например вълните върху повърхността на водата.

Тази функция се нарича ψ (пси)функция и в нея влизат координатите на тримерното пространство x, y, z. Оказало се, че квадрата на тази функция ψ2 описва вече не движението на вълната, а вероятността да се открие тази вълна в точка в пространството с координати x, y, z. Върховете на тази вълна (точката на максималната вероятност) показват, къде в пространството е вероятно да бъде частицата.

Илюстрация: free-background-wallpaper

Уви, с дьо Бройл свършват ясните и кратки уравнения – уравнението на Шрьодингер вече е от областта на висшата математика, но е толкова важно за разбирането на съвременната физика, че ще поместя макар и простата му форма – едномерно стационарно уравнение на Шрьодингер – освен него той е формулирал и варианта на вълново уравнение и във функция от времето,

x е разстояние, h e константата на Планк, m – маса, E е пълната енергия , U – потенциалната енергия на частицата. Ψ е вълновата функция, описваща състоянието на системата (частицата).

Хайзенберг

През 1925г немският физик Вернер Хайзенберг (Werner Karl Heisenberg) представя схема, в която вместо координати и скорости на частицата били абстрактни величини – матрици. Възниква матричната механика, където същите задачи на квантовата механика се решават в матрична форма – доста по-сложно математически. Скоро след това Шрьодингер доказва еквивалентността на двете теории, че от вълновото уравнение следва матричното и обратното и че резултатите са идентични.

Принцип на неопределеността

Всеки знае, че физиката представя приблизителен модел на света. Естествено, всяко измерване се прави с грешка, но минават години, векове и измерванията стават все по-точни. Така че, може би има надежда, че ако не веднага, но поне някога, по принцип, може да се каже със сигурност, например, където в момента по оста Х се намира материалната точка и каква е нейната скорост V. Уви, това се оказва принципно невъзможно. Окончателното формиране на квантовата механика като последователна теория е свързано с формулирания от Хайзенберг през 1927 г. принцип (съотношение) на неопределеността. Той твърди, че никоя физическа система не може да се намира в състояние, при което координатите и импулса й(скоростта, кинетичната енергия) едновремено приемат напълно определени значения.

Формулата

Според този принцип класическият смисъл на понятията координати и импулс не могат да се прилагат за микрообекти. Никакъв експеримент не може да доведе до едновременно точно измерване на тези параметри като тази неопределеност в измерванията е свързана не с несъвършенството на приборите, а с обективните свойства на квантовия свят.

В нашето ежедневие измерването на положението и скоростта на едно тяло не му влияе практически никак. По този начин, няма проблем едновременно да измерим скоростта и местоположение на обекта абсолютно точно. В квантовия свят обаче, всяко измерване въздейства върху системата (тъй като самото измерване също става с помощта на кванти (фотони), които взаимодействат с измерваната частица). Самият факт на измерването на местоположението на частицата води до промяна в скоростта й и то по непредвидим начин. Всъщност, ако успеем с нулева грешка, абсолютно точно да определим една от измерваните величини, според формулата на Хайзенберг, неопределеността на другата величина ще бъде равна на безкрайност, т.е. няма да се знае абсолютно нищо. С други думи, ако можехме да установим точно координатите на квантовата частица (Δx = 0), то за скоростта й няма да имаме никаква идея (Δp = ∞) и обратното – ако можехме да определим точно скоростта на частицата (Δp = 0), нямаше да имаме никаква представа къде се намира (Δ x = ∞).

Илюстрация: bgchaos, по идея на codehost

Фотонът (измерващият) и електронът (измерваният) след сблъсъка си са вече едно цяло. Това е отразено в математическия апарат на квантовата механика, където те се описват с една обща вълнова функция с неразделими променливи – вълновата функция на фотона зависи от състоянието на електрона, както и обратното. При измерване, да речем, на импулса на електрона, ние оказваме влияние върху цялата система “електрон-фотон”. И цялата система скокообразно преминава в ново състояние. Този процес е описан като колапс на вълновата функция. По този начин не само електронът, но и фотонът придобива определен импулс. Едва след това електронът и фотонът стават независими обекти.

Съгласуване на принципа на неопределеността на Хайзенберг с корпускулярно-вълновата двойственост в модела на дьо Бройл

Попадна ми прекрасна илюстрация на това как корпускулярно-вълновата двойственост на квантовите частици (хипотезата на Дьо Бройл) е в съответствие с принципа на неопределеността на Хайзенберг.

Когато квантът се проявява като плоска вълна, дължината на вълната λ е измерима(известна), от там и импулса p (p=h/λ), несигурността в  стойностите на Δp или енергията ΔE е малка. Затова пък позицията x или времето t са неопределими, защото частицата е вероятно да бъде открита навсякъде поради периодичността на вълната.	Когато квантът се проявява като вълнов пакет, λ е неизвестна, от там и импулса Δp и енергията ΔE . Затова пък частицата по-лесно може даа бъде локализирана в пространството и времето – позицията x и времето t са определими с известна точност. Така че този път Δx или Δt са много по-малки от Δp или ΔE .
Илюстрация: wikipedia, преработка и превод bgchaos

Не орбити, а облаци

Според законите на вълновата механика и като се вземе предвид принципа на неопределенността на Хайзенберг, орбитите на електрона като такива, вече не съществуват и може да се говори само за относителна вероятност за наличието на един електрон на едно или друго разстояние от ядрото или .електронна плътност. Местонахождението на електроните се определя като облак – област от пространството, в която електронната плътност е над 90%. Въведено е понятието орбитала като математическа функция, характеризираща вероятността електронът да се намира на дадено място. Енергията, размерите на атомната орбитала, отдалечеността на електрона от ядрото се определят от квантовите числа, а броят на електроните в обвивките – от Принципът на Паули.Илюстрация: io9, преработена от bgchaos

Краят на лапласовия детерминизъм

Принципът на неопределеността преобръща начина, по който гледаме на света. Той все още предизвиква разгорещен дебат, тъй като е коренно различен от класическите теории, като най-съществената разлика е нейния принципно вероятностен характер.

Възгледът, характерен за класическата наука е отразен в идеята на Пиер Симон Лаплас (1749-1827) за възможността за еднозначно предвиждане на явленията. Детерминизъм означава, че, ако знаете цялата първоначална информация за системата – като позиция, импулс и т.н., на всички частици от нея, можете да определите без никакво съмнение или несигурност, всичко, което би могло да се знае за нейното крайно състояние по-късен етап.

Илюстрация: scienceblogs

Според Лаплас за надарения с разум човек, познаващ във всеки момент всички движещи сили в природата, никак не е трудно да изрази в едно уравнение всички движения, да разкрие всичко неизвестно и с един поглед да обхване както миналото, така и бъдещето.

Илюстрация: wikinoticia

Лапласовият детерминизъм представлява идеализиране и придаване на всеобщ и универсален характер на механичния детерминизъм, изключващ случайностите, неговото налагане като научен стил на мислене и модел за научни теории извън пределите на класическата механика, универсализирането му като приложим в цялата природа и обществото.От позицията на лапласовия детерминизъм нютоновата механика с нейните еднозначни закони е идеал за научно знание. Всяка теория от тази гледна точка трябва изчерпателен начин да описва свойствата на реалността на базата на строго еднозначни закони. В неопределеността няма нищо ново, но обикновено се е смятало че причината й са недостатъците на използваните прибори или методи, т.е. смятало се е, че: точната стойност съществува, обаче е много да се намери и затова разглеждаме резултатите като приблизителни, вероятностни, със статистическа неопределеност.

Но идеалът на Лаплас е постижим само за един свръхестествен всезнаещ разум и както казва Стивън Хокинг в Кратка история на времето – “Май е по-добре да използваме принципа на пестеливостта, известен като бръснача на Окам, и да отрежем всички свойства на теорията, които не могат да се наблюдават.”

Интерпретации

Една от интерпретациите на квантовата механика е изградена от позицията на лапласовия детерминизъм. Всъщност, такава интерпретация е разработена от група учени, между които Айнщайн, Планк. Те твърдят, че вероятностния характер на квантовата механика е само заради непълнотата й като физическа теория. Те насочвали физиците да търсят такава теория за квантовите явления, която по своето естество и закони да e подобна на класическата механика.

В рамките на широко-, но не общоприетата Копенхагенска интерпретация на квантовата механика, принципа на неопределеността, се приема на елементарно ниво: физическата вселена не съществува в детерминистична форма, а по-скоро като набор от вероятности или възможности. Според Копенхагенската интерпретация например, моделът на вероятностното разпределение на дифракцията на милионите фотони, преминаващи през процеп, може да се изчисли с помощта на квантовата механика, но точния път на всеки фотон не може да бъде предсказан от нито един познат или непознат метод. По повод на тази интерпретация на Айнщайн прави най-големия си гаф с известното си изречение, в писмо до физика д-р Макс Борн (Dr. Max Born): “Господ не играе на зарове с вселената”. Нилс Бор, който е един от авторите на Копенхагенската интерпретация, сполучливо му отговаря: “Айнщайн, не казвайте, на Бог какво да прави със своите зарове”.

Илюстрация: wikinoticia

Дебатът за вероятностните представи (Спорът между Бор и Айнщайн) в съвременната физика още не е затихнал, но резултатите от всички експерименти досега само ослабват позициите на лапласовия детерминизъм.

Източник:
Общая теория относительности и квантовая механика
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА, ЕЕ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
Квантовая механика, lurkmore.to
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. – Теоретическая физика.
Квантовая механика, elementy.ru
Квантовая механика, проект кафедры общей ядерной физики физического факультета МГУ
Квантовая механика, Химическая энциклопедия
Что делать, если время действительно существует?
Веер параллельных вселенных, Александр Сергеев
«Блеск и нищета» квантовой механики,Николай НОСКОВ
Phase Invariance and The Laws of Electromagnetism, Mark Lawrence
A Cybernetic Interpretation of Quantum Mechanics, Ross Rhodes
Quantum Theory of Matter
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА | Энциклопедия Кругосвет
Вернер Хайзенберг и принципа на неопределеността
Три фундаментални ограничения на модерната наука
Бъдещето на квантовата теория, Джеймс Бьоркен
Принцип неопределённости Вернера Гейзенберга Стасенко А.Л.
Бог что-то скрывает от нас, или О принципах неопределенности //Квант. — 1993. — № 9. — С. 63-66. Why you can’t ever “know” anything exactly, Ethan Siegel
Полевая физика или как устроен Мир? – Репченко О. Н.
Уравнение Шрёдингера
Принцип неопределенности Гейзенберга, elementy.ru
Standing Waves