Диаграмите на Файнман

Диаграмите на Файнман са метод за  графично представяне на вероятностите при взаимодействията в квантовата теория на полето. Методът е предложен от Ричард Файнман (Richard Phillips Feynman).

Какво се крие зад диаграмите на Файнман

Математическите изрази в квантовата теория на полето са много сложни. Просто за забавление, ще покажа какъв математически израз се крие зад Файнмановите диаграми. Например, взаимодействието между електрони и фотони е описано от следния лагранжиан Lagrangian(функция на Лагранж):

Lagrangian

Без да навлизам особено в подробности:

  • Ψ представя електрона, а с чертичка отгоре е позитрон,
  • A е фотона,
  • e е елементарният електричен заряд на електрона
  • γμδμ e вид производна функция, която ни показва как електронът се разпространява в пространството.
  • m е масата на електрона
  • F μνF μνса "напрегнатост на полето" на фотона: това е аналог на производната за електрона и ни показва как фотонът се разпространява в пространството. 

Диаграмите на Файнман предлагат много по-опростено и нагледно представяне.Точното решение, обаче, не може просто "да се чете" от тях, необходими са математически формули. От друга страна, може да бъде изчислена квантовата амплитуда на вероятностите за всяка диаграма на Файнман.

Структура

Времевата ос е насочена от ляво на дясно, така че от ляво са началните състояния, а отдясно – крайните (по-рядко времевата ос е насочена нагоре). Пространството е представено от една ос, а местоположението в него е условно, както е според квантовата механика.

Точките на взаимодействие, където линиите се срещат, се наричат ​​върхове. Само при връховете могат да бъдат създадени, унищожени или разпръснати (разсеяни) частици. Върховете свързват бозоните (частиците, отговорни за взаимодействията) и фермиони (взаимодействащите си частици).

Във Файнмановите диаграми има външни линии, които влизат или напускат точките на взаимодействия и вътрешни линии, свързващи двойки точки на взаимодействие. На вътрешните линии съответства разпространието на промеждутъчните частици от един акт на превръщане до друг, на външните линии съответстват вълновите функции на началните и крайните частици, участващи в процеса.

Файнман particle

Общи характеристики на процеса на разсейване: A + B → C + D

  • вътрешни линии (вълнообразни сини),
  • външни линии (червени) за входящи / изходящи частици от / до
  • върхове (черни), при всеки връх се събират 4-мерни импулси, прилагат се производни, като влизащите при върха 4-мерни импулси са положителни, а тези, които напускат са отрицателни, коефициентите са интеграл на амплитудата на вероятностите на събитието

Елементи

Символ Значение
Файнман particle “Нормална” частица
Файнман-частица-pos Античастица
Файнман wave фотон, преносител на електромагнитното взаимодействие 
Файнман глуон, преносител на силните взаимодействия
Файнман  W и Z бозони, преносители на слабите взаимодействия

Файнмановите диаграми са съставени от базови символи, всеки от които представлява определен вид елементарна частица от картата на Стандартния модел.

Посоката на стрелката показва дали частицата е нормална или античастица. При една нормална частица, стрелката е по посоката на времето, а при античастиците, стрелката сочи обратно на посоката на времето. Това не означава, че античастицата се движи срещу времето, а само начин да се различават частици и античастици.

Квантите на взаимодействие между частиците са вълнообразни, без стрелки, както е показано в таблицата. Над линията се записва вида на частицата, например: e- (електрон), e+(позитрон), μ (мюон), ν (неутрино), W- ( W--бозон), W+ ( W+-бозон), Z (Z-бозон) и т.н.

Грешки при тълкуването на диаграмите

Хората често се бъркат Файнмановите диаграми с пространствено-времеви диаграми заради визуалнато сходство, но те ​​са доста различни неща. Линиите, представляващи частиците, не са реални траектории, Файнмановите диаграми не съдържат понятието позиция, нито в пространството, нито във времето, тези неща в квантовата механика нямат смисъл. Освен това, конкретната схема не е единствената, по която частиците всеки път ще си взаимодействат, а само възможната. И друго – обменният квант не е реален квант, а виртуален квант.

Механизмът на взаимодействие на частиците

В квантовата теория на полето взаимодействието между частиците се разглежда като обмен на виртуални частици. От формулата за неопределеност на Хайзенберг:

Δx . Δp ≥ Файнман , Δt . ΔE ≥ Файнман

следва, че ако една частица съществува за кратък период от време Δt, то енергията й може да се колебае със стойността Файнман / Δt, а ако тя е до размерите на Δx, то импулса й се колебае с Файнман / Δx. По този начин, за кратки интервали от време и в малки обеми може да се нарушава релативистичното съотнощение между енергия и импулс:

Файнман ( E – енергия, Р – обикновен тримерен импулс, m – маса)

То се изпълнява само за началните и крайните частици (само те са реални частици), описани от външните линии, но се нарушава за междинните частици, описани от вътрешните линии, затова те са ​​виртуални частици и за тях Р и E могат да приемат стойности от +∞ до -∞ . Именно виртуалните частици са отговорни за реализацията на взаимодействието на частиците.

Тези виртуални процеси се появят в резултат на неопределеността, присъща на квантовата теория. Виртуалните частици са само една абстракция. Необходимата за появата им енергия идва от съотношението на неопределеност между енергия и време: Файнман, от което следва и краткия им "живот".

Ако масата на виртуалната частица е равна на m, то времето на съществуването на частицата в междинно състояние може да се оцени като: Δt ~ ћ/mc2, за това време частицатаще измине пътя: c . Δt ~ ћ/mc =L Така двете взаимодействащи частици ще обменят квант-преносител, ако разстоянието между тях не надвишава L.

Трябва да се подчертае, че по принцип, за целия процес законите за запазване се изпълняват точно: общата енергия на частиците преди взаимодействието е равна на общата енергия на частиците след взаимодействието. Същото важи и за всеки един от върховете.

Константа на взаимодействието

На всеки връх в амплитудата на вероятността на процеса съответства константа на взаимодействието α, която може да се запише така:

α = g2/ Файнман c, където g е зарядът на източника на взаимодействие.

За електромагнитното взаимодействие αе = e2 / Файнман c = 1/137.

Тип взаимо-действие Преносител Константа на взаимодействието, α Радиус, r, м Време на живот, сек Вероятността на процесите, които протичат за конкретен тип взаимодействие зависи (обикновено) от квадрата на константите на взаимодействието.

Силно

между нуклони: π,ρ,ω,…

r > rp

10 -13

10 -24

между кварки: фундаменталните взаимодействия r < rp
10 -14

Електро-магнитно

фундаменталните взаимодействия

10-23÷1016

Слабо

фундаменталните взаимодействия

10 -16

10-12

Гравита-ционно

фундаменталните взаимодействия

 

Правилата на Файнман

Така наречените правила на Файнман съпоставят всеки елемент на Файнмановите диаграми на определени математически обекти (стойности и операции), така че от диаграмата на Файнман да може еднозначно да изгради аналитичен израз, изясняващ амплитудата на разсейване на квантовите полета. Файнмановите диаграми дават нагледна класическа интерпретация като серия от последователни локални превръщания на частици.

Върхове

Върховете (възлите) на диаграмите съдържат основна информация за процеса – вида на основното взаимодействие и неговата вероятност. Според правилата на Файнман, във всеки връх на превръщането на частиците става с интензивност, пропорционален на константата на взаимодействията и в съответствие със закона за запазване на 4-мерния импулс.

Пропагаторите

На вътрешните линии на виртуалните частици се съпоставят функциите на разпространение на тези частици, наречени пропагатори. Пропагаторът за частица, пренасяща взаимодействие с маса m ≠ 0, е равен на 1 / (m2c2 – q2), където q е четиримерния импулс на частицата. Пропагаторът се включва като множител в амплитудата на вероятността на процеса. На пропагатора i . Δ ( x – y ) в диаграмите на Фейнман съответстват линията, съединяваща точките х и у. Пропагаторите напълно характеризират взаимодействащите си полета.

Ето още някои правила за построяване на диаграмите на Файнман:

1) Броят на стрелките, влизащи в една Файнманова диаграма от ляво е винаги равен на броя на стрелките, които излизат от дясно. Всички диаграми с еднакви входящи и изходящи линии са еквивалентни.

2) при завъртане на диаграмата се получават различни интерпретации

Тъй като времето се движи от ляво на дясно, завъртането около върха дава като резултат различни интерпретации.

Файнман Файнман Файнман Файнман
Синтез на фотон от електрон и позитрон Излъчване на фотон от електрон (промяна на посоката) Поглъщане на фотон от позитрон (промяна на посоката) Разпадане на фотон в електрон и позитрон

3) Запазване на момента

Всяко начално и крайно състояние на частиците има определен момент, който включва общата енергия на частицата. Всяка диаграма, трябва да отговаря на условието за запазване на момента. Във всяка пресечна точка сумата от моментите във всеки връх отляво е равен на моментите, които излизат от него (вдясно).

И за двете схеми е изпълнено условие 1, но не и условие 3). Не може да има диаграми, където "нищо" се превръща в нещо или нещо се превръща в нищо: Файнман

4) Запазване на електрическия заряд

Запазване на електрическия заряд във всяка схема идва със запазването на електрическия заряд за всеки възел.

Съвкупност от всички възможни диаграми

Според квантовата механика, частиците могат да използват всички пътища между първоначално наблюдаваното състояние до крайното наблюдавано състояние. Така, ако забележите една частица в точка А, вероятността тя да се появи в точка B се дава от сумата от амплитудите на вероятностите за всеки междинен път.

Файнмановите диаграми не само илюстрират реакциите на частиците, но и позволяват дори без точна калкулация, да се направят някои важни оценки на вероятността на процеса. Например, с помощта им може лесно да се докаже доминиращата роля на диаграмите с по-малък брой на виртуалните частици.

Всяка Файнманова диаграма (всеки вид взаимодействие, с различен брой върхове) е всъщност съвкупност от безкраен брой възможни геометрични начини такова взаимодействие да се осъществи в четиритримерното пространство-време. С помощта на малко въображение можете да намерите много други диаграми.Файнман

Възможните пропагатори могат да формират и по-висок порядък линии ( цикли, контури, примки)

Файнман Файнман Файнман Файнман
Файнман без цикли Файнман един цикъл Файнман два цикъла Файнман два цикъла

Възможните Файнманови диаграми се класифицират в зависимост от броя на вътрешните линии.

За да се изчисли вероятността на процеса е необходимо за него да се нарисуват всички възможни диаграми и да се изчислят амплитудата на вероятността за всяка диаграма. Пълната вероятност на процеса е равна на квадрата на абсолютната стойност на сумата от амплитудите на всички възможни диаграми.

Диаграмите могат да се обобщят като безкрайна редица:

Файнман

Вижда се, че с нарастването на порядъка N, все по малко е влиянието на членовете на редицата заради увеличаването на степента на константата на взаимодействието α , която е по-малка от единица. При достатъчно висок порядък на диаграмите, в съответствие с теорията на пертурбациите  (метода на последователните приближения), приносът им ще е незначителен и няма да повлияят на резултата.

Тази сходимост не е валидна за силните взаимодействия, което ги прави трудни за пренормировка (ренормализация). Причината се състои в това, че докато слабите и електромагнитните константи на взаимодействие са по-малко от 1 и следователно приносът на диаграми с по-голям брой на върхове е винаги намаляващ и може да се пренебрегне, константата на взаимодействие на силното взаимодействие е по-голяма 1 и следователно диаграми с по-голям брой върхове ще дават все големи стойности. Въпреки това, Стандартния модел предсказва, този ефект при константа по-голяма от 1, важи само за големи разстояния, докато за малки разстояния намалява бързо, така че могат да бъдат използвани отново методите на пертурбация.

Примери на диаграми за различните типове фундаментални взаимодействия:

Квантите, преносителите на взаимодействиетоСхема: hyperphysics

Различни частици ( бозони) са отговорни за различните типове фундаментални взаимодействия.

По обясними причини, тук липсва гравитационното взаимодействие. Все още е неизвестен механизмът му на осъществяване. Хипотетичната частица гравитон, която се предполага, че е обменната за това взаимодействие още не е открита.

 

Източник:

Let’s draw Feynman diagrams!, Quantum Diaries

When Feynman Diagrams Fail, Quantum Diaries

More Feynman Diagrams, Quantum Diaries

Механизм взаимодействия частиц

Общие свойства фундаментальных взаимодействий. Диаграммы Фейнмана

Path integrals: particle paths for principle of least action

Gauge theory errors corrected by facts, giving tested predictions

Физика ядра и банки ядерных данных. Диаграммы Фейнмана, В.В.Варламов, Н.Г.Гончарова, Б.С.Ишханов

ПРОБЛЕМИ НА ФУНДАМЕНТАЛНАТА ФИЗИКА, И. Ф. Гинзбург

Правила Фейнмана

Диаграммы Фейнмана

Feynman-Diagramm

Teoría cuántica de campos

Прочети още ...

Квантовата механика. Елементарните

Вашият коментар

Or

Вашият email адрес няма да бъде публикуван Задължителните полета са отбелязани с *

*


Можете да използвате тези HTML тагове и атрибути: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>