Четиримерните Платонови тела

За широката публика четвъртото измерение често напомня за научна фантастика, паранормални явления. Някои твърдят, че там са душите на умрелите, а други поместват там и Боговете. За бедните “флатлендери”, тримерно същество, което може да преминава през “стени”, да обръща “наопаки” 2D обекти, да се появява и изчезва и пр. фокуси, ще изглежда наистина “всемогъщо”. Ето такива приказни възможности носи увеличаването на размерността само с единица. И друго – както ние, тримерните изглеждаме “всемогъщи” за 2D съществата, така биха били всемогъщи спрямо нас и съществата от 4-тото измерение.

Но как поне да “надникнем” в 4 пространството?

От математична гледна точка няма нищо сложно в 4D- пространството. Просто добавяме още една променлива (W. да речем) в уравненията и точката вече ще се определя с четири числа: X, Y, Z, W. Геометрично това се изразява просто с добавяне на още една ос, перпендикулярна на останалите три. Но целта ни е …

“Да виждаме” в 4-тото измерение

Как може да “виждаме” в четвъртото измерение? Все още не са изобретени 4D-очила, но ще се опитаме по още няколко начина.

Аналогия

За да се разбере характера на четиримерното пространство, можем да използваме методът на аналогията, т.е изучавайки как се отнасят характеристиките на обектите в (N – 1)-размерното пространство спрямо N – пространството, да си направим извода как (N + 1) -размерното пространството ще се отнасят към N -тото.

Граници Сечение Образуване Разгъвка
1D X точка
2D X, Y

линия

3D X, Y, Z

много-

ъгълник

4D X, Y, Z, W сечението е многостен

Ако 2D фигурите са многоъгълници,  3D телата наричаме многостени, то 4D си имат специално име – политопи.

Интересно е, че както сечението на куба може да има по-голяма площ от стените му, така многоъгълникът, получен от пресичане на 4-мерното тяло с 3-мерно пространство, може да е е по-голям от ограждащите го многостени! Представете си как в n-мерен куб с ръб дори сантиметър, може да се събере например нашата планета!

4D Многостените

Аналогично на Платоновите тела, правилни многостени в четвъртото измерение са:

Просто име Име Върхове Ребра 2D Стени 3D Стени
Симплекс Пентахор 5 10 10 триъгълника 5
тетраедра
Хиперкуб Тесаракт 16 32 24 квадрата 8 куба
16 (Хипероктаедър) Хексадекахор 8 24 32 треугольника 16 тетраедра
24 Икоситетрахорон 24 96 96 триъгълника 24 октаедра
120 Хекатоникосахор 600 1200 720 петоъгълника 120 додекаедра
600 Хексакосизор 120 720 1200 триъгълника 600 тетраедра

Любопитно е, че са с един повече, но за 5-мерното и всички по-висши размерности – са само по 3 – аналозите на куба, тетраедъра и октаедъра. Повече за многостените с размерност 4 да се намери тук, или тук, а също и тук.

 

5-cell
Симплекс
Хиперкуб
16 (Хипероктаедр)
24 (Икоситетрахорон)
120 (Хекатоникосахор)
600 (Хексакосизор)
Ако поставите мишката върху някое име по-горе, ще видите съответстващото му въртящо се 4-мерно тяло. Голяма красота е.

Сечения

Един от начините да се обясни на гущерчетата какво е тетраедър е да го нарежем на “филийки”. Едуин Абът многократно използва тази идея в книгата си. Този метод често се използва в томографията: разглеждат се поредица от снимки на човешкото тяло в напречно сечение, а след това се получава триизмерна картина.

Когато многостенът се премества в пространството и се пресича с равнината на гущерите, сечението му е многоъгълник. При движението на многостена, многоъгълникът се променя и в крайна сметка, изчезва в момента, когато тялото окончателно преминава през равнината. Гущерите виждат само многоъгълници, но те ги виждат в динамика,: те могат да гледат променящите им се форми. След като понатрупат малко опит, възможно е в крайна сметка да получат една интуитивна представа за това какво е многостен, въпреки че не са в състояние да го видят в пространството.

Няма да им е лесно на плоските гущери да познаят куба, виждайки шестоъгълно сечение, но ние като 3D същества, имаме известни познания на 3D геометрията, за да се досетим, че това е куб.
Aко наблюдаваме вдясно последователността на сечения на четиримерен обект с 3D пространството, може ли да разберем какво е тялото?

Вероятно не, освен ако не го знаем предварително, без интуитивно разбиране на 4D, ще е много трудно да възстановим оригиналния обект от тях.

Основният проблем с напречни сечения е, че ние не можем да видим изцяло обекта, а само “на парче”. Важни характеристики, като например броя и формата на стените, броят на върховете (ъглите), както и цялостната форма на обекта, остават скрити.

Забележка: Нека не забравяме, че “режем” с безкраен обект с размерност N-1 - т.е. режем 3D тяло с безкрайна 2D-равнина, а 4D-обекти – с безкрайно 3D - хиперравнина. Не бихме могли да разрежем 4D-обекти с обикновена равнина, както не можем да разрежем с линия 3D тела, можем да ги “пробием”.

Разгръвка

Как да си сглобим тесеракт? Всеки може да си направи куб, а ето как трябва да се сгъне тесеракт: Опитайте се внимателно да залепите едноцветните страни на кубовете както е показано, като не забравяте, че ъглите остават прави, а кубовете не бива да се деформира! Успяхте ли?

 

Построяване

Всеки обект с N+1 размерност се образува от N-мерен като се транслира, нарастне (екструдне – не мога да намеря точен превод на думата extrude) в N+1 посока (вижте табличката с аналогиите).

Същото е и с 4D-обекта, например тесеракта (хиперкуба), само дето ни е малко трудно да го осъзнаем с разума си – вземаме един куб със страна L, екструдваме го по направление на 4-тата координатна ос W и получаваме тесеракт с обем L4. “Ограден” е от 8 стени-тела с обем L3.
Точно като куба и квадрата, всички ръбове в рамките на един тесеракт са с еднаква дължина и всички от ъглите са под прав ъгъл.

 

За най-използвания и може би най-ефективен начин – проекцията – в следващата публикация.

 

 

Източник:
4D Visualization
wikipedia-Four-dimensional space
Dimensions
Introduction to the fourth dimension
Einstein for Everyone

Прочети още ...

Четвъртото измерение

4 отговора към “Четиримерните Платонови тела”

  1. Радослав казва:

    Госпожице Милева. Струва ми се, че откривам малка но все пак фундаментална грешка в описанието ви на четиримерния хиперкуб.
    Същата грешчица откривам и в сайта на уикипедия.

  2. Vanya казва:

    Кажете, за да се поправя.

  3. plamen казва:

    Защо да се ограничавате само с четвъртото пространствено измерение? Покажете и за пето, шесто, седмо, осмо и девето измерение, както показахте за четвъртото измерение анимирани картинки как изглежда хиперкуба. Моля направете същото с по-висшите измерения. И също така покажете триизмерна разгръвка на петизмерен куб, на шестизмерен куб и т.н., както показахте разгръвка на тесеракт. Нали в теорията на суперструните има 11 измерения? Е, ще сложите ли статия за тези измерения?

  4. Елена казва:

    Страхотен сайт,ясни обяснения,браво на вас!!!
    Завършвам Архитектура,но до сега не бях срещала толкова добро обяснение на 4мерните Платонови тела!Възхитена съм!Майсторство е да се предаде нещо сложно и необозримо с простота и лесен за следване логичен път!

Вашият коментар

Or

Вашият email адрес няма да бъде публикуван Задължителните полета са отбелязани с *

*


Можете да използвате тези HTML тагове и атрибути: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>