Несигурният живот в един феромагнетик

Механизъм на Хигс е пример за процес на “спонтанно нарушение на симетрията”, но този процес отдавна е добре известен в други области на физиката. Тази идея е предложена за първи път от Вернер Хайзенберг за феромагнитни вещества. Хайзенберг забелязал, че теорията, описваща феромагнитите има точна геометрична симетрия, докато материалът не е намагнетизиран, тъй като няма привилегирована посока в пространството. Когато материалът е намагнетизиран, една от осите, а именно, посоката на магнетизация става най-важна. Теорията си остава напълно симетрична, но обектът на описание – не.

В еднороден къс желязо при стайна температура винаги има магнитно поле насочено в някаква посока, т.е. образецът е магнит. Неговите атоми са като малки магнитчета, които, благодарение на силите, действащи върху тях, са подредени успоредно на своите съседи и са с една и съща ориентация север-юг.

Да си представим, че вътре в магнита живеят микроскопични създания. Те щяха да открият, че не всички посоки на пространството около тях са равноправни. Ако проследят електрон, летящ перпендикулярно на магнитното поле, ще видят, че върху него действа Лоренцовата сила от магнитното поле, а на електрон, летящ по протежение на полето – не. Затова, електронът ще се движи по права линия по протежение на магнитното поле, а напречно на полето – по спирала. Магнитното поле вътре в образеца нарушава симетрията спрямо ротация в пространството и следствие на това вътре в магнита не се изпълнява закона за запазване на ъгловия момент – при движение на електрон по спирала, проекцията на ъгловия момент на ос, перпендикулярна на магнитното поле се променя във времето.

Илюстрация: elementy.ru

Вляво: ненамагнитен образец при температура над 770oC, без привилегировано направление.	Вдясно: намагнитен образец при температура под 770oC с привилегировано направление.
Илюстрация: elementy.ru

При достатъчно високи температури, а именно определена критична стойност 770^oC (1043^oK , т.н. “точка на Кюри”), топлинната енергия възбужда атомите така, че тази тенденция за нареждане на магнитчетата се преодолява и образецът не показва склонност да се превръща в магнит в макроскопичен мащаб. Малките атомни магнитчета се ориентират на случаен принцип и нито една от посоките не е привилегирована. Ротационна симетрия се проявява в това, че магнитното поле в образеца може да бъде насочено където и да е.

При температури под 770^oC енергийно по-благоприятна е подредената ориентация на атомите, така че в идеалния случай, желязото се намагнетизира. Но след като се е появило магнитно поле, се проявява и предпочитана посока и симетрията в рамките на магнита е нарушена. Уравненията, които управляват взаимодействията на железните атоми помежду им и с магнитното поле, са симетрични спрямо ротации в пространството, но състоянието на системата от тези атоми в образеца не е симетрично.

Спонтанното нарушаване на симетрията

Да си представим, че образецът е желязно кълбо, за да изрази и геометрично началното симетрично състояние. Какво се случва? Кълбото ще премине в състояние на най-ниска енергия, отдавайки енергията на вътрешните колебания на атомите в по-студената окръжаваща среда. Състоянието на минимална енергия се получава благодарение на взаимодействията между съседните атоми, когато всички атоми са разположени в една и съща посока, така че кълбото става намагнетизирано с определена посока на полярността север-юг. Но нито една от посоките няма предимство пред другите. Това е т. н. “изродено състояние” на най-ниска енергия. Ако няма привилегирована посока в началното горещо ненамагнетизирано състояние, то крайната посока на намагнитването ще е случайна. Това е пример за спонтанно нарушаване на симетрията: първоначалното сферично симетрично състояние преминава в състояние на по-ниска симетрия, а именно с ротационна симетрия около магнитната ос север-юг. Състоянието със симетрия SO (3) на началното горещо ненамагнетизирано кълбо се превръща в състояние с по-ниска симетрия SO (2) на студеното намагнетизирано кълбо.

Потенциалът на състоянията може да се опише с познатото ни сомбреро. Повърхността на “сомбрерото” е семейство от допустимите състояния на системата при нулева температура на околната среда, а височината е енергията на системата.

Съществува равновесно състояние, което е хоризонталната допирателна равнина, съответстваща на горната част на шапката, която има пълната симетрия на началната група, представена от ротационна група около вертикалната ос, когато липса напълно намагнитване на кълбото. Ротационната симетрия SO (2) е аналог на пълната симетрия на желязната сфера SO (3), тъй като трябва да отпадне едно пространствено измерение, за да се получи тримерна графика.

Ненамагнетизираното състояние има нестабилно равновесие, защото не отговаря на минимално допустимата енергия. Тези минимуми съответстват на състоянията в хоризонталната част по периферията като на всяка точка от тази окръжност съответстват различни направления на намагнитването на желязното кълбо. По тази част на графиката се движеха, ако си спомняте, бозоните на Намбу-Голдстоун.

Началното състояние на върха може да се разглежда като състояние на разположено там топче, представящо началното състояние на висока температура. Устойчивостта се губи благодарение на влиянието от някое случайно смущение и топчето се търкаля надолу до някоя точка и заема спокойно състояние на периферията на шапката като желязното топче може да се окаже във всяка точка там, отговаряща на някакво направление на намагнитване. Заради изроденото ротационно състояние, топчето няма предпочитано място. Всички позиции на равновесно положение на периферията на сомбрерото са равнопрвни - изборът е произволен, “спонтанен“. При това спонтанно нарушение на симетрията, уравненията на теорията от престават да са симетрични, законите за запазване не работят, в този пример това се отнася до запазването на ъгловия момент.

И все пак пълната симетрия на теорията е нарушена само частично в примера – от пълна симетрия за всички ротации в пространството остава само ненарушена симетрията спрямо ротация около направлението на магнитното поле.

Магнитоландците откриват бозона на електромагнитното поле

Сред микроскопичните същества, живеещи вътре в магнита, магнитоландците, вероятно ще има физици, които биха могли да си зададат въпроса:

“В нашия свят, не всички направления са равноправни, ъгловият момент не се запазва, но дали пространството е фундаментално асиметрично по отношение на ротации?”

Те биха изследвали движението на електроните и съставили съответната теория – електродинамиката. Вероятно ще осъзнаят, че отговорът на този въпрос е отрицателен: уравненията на тази теория са симетрични, но тази симетрия е спонтанно нарушена заради “всепроникващото” навсякъде магнитно поле.

Като разработят теорията си по-нататък, те биха предположили, че това поле, отговорно за спонтанното нарушение на симетрията, трябва да има кванти. И когато си построят вътре в магнита един малъкв ускорител и осъществят редица сблъсъци на електрони, с удоволствие ще се уверят, че тези кванти съществуват и съответно тяхната преса би обявила тези кванти за “божествени”!

Аналогията не е на 100%, естествено. Бозонното поле на Хигс е скаларно, а не векторно, не нарушава пространствено-времевата симетрия и най-ниската му енергия отговаря на ненулевата му стойност. Виж Какво трябва да е бозонното поле на Хигс?

Примери за спонтанно нарушаване на симетрията

Наличието на асиметрични решения на симетрична теория се случва в много клонове на физиката. Причината е, че симетричното състояние не е състоянието с минимална енергия, т.е. основното състояние и че в процеса на развитие на основното състояние, присъщата симетрия на системата е била нарушена. Всеки, който е забивал пирон, знае какво е спонтанно нарушаване на симетрията. И аз, като строителен инженер, мога да дам пример от бившата си област – това е т.н. “изкълчване” на колони. Над някакво критично натоварване, колоната губи “спонтанно” своята симетрия и се изкълчва в непредвидима посока.

Изкушавам се да дам още един пример с появата на турбуленция:

при незначителна скорост – струйката е права и не се смесва с неоцветената вода. Този режим се нарича “ламинарен” – от лат. lamina – слой.
при отваряне на крана, оцветената струйка започва да лъкатуши.
след определена скорост, поради случайни сътресения, струята се разкъсва и смесва с останалата вода.

Не може да не сте забелязали (тези, които са се запознали вече с теорията на хаоса), че в критичната точка на бифуркация става спонтанно нарушение на симетрията.

Фазов преход – драматичните трансформации

Такива явления, при които малка промяна в околната среда води до радикална промяна в природата на стабилното равновесно състояние на материята, се нарича фазов преход.

В примера желязната сфера, фазов преход настъпва, когато от ненамагнетизирано състояние при температури над 770^oC , сферата преминава в намагнитизирана състояние при преминаване на тази температурна граница.

Такива явления, при които малка промяна в околната среда води до радикална промяна и до друго стабилното равновесно състояние на изследваната система, се нарича фазов преход. Някои примери за фазови преходи са:

• Преминаването от едно агрегатно състояние в друго.

• Появата на свръхпроводимост в някои метали и керамика, когато се охлаждат под някаква критична температура.
• Преходът между феромагнитни и парамагнитни (без магнитни свойства) състояния на материали
• Бозе-Айнщайновата кондензация

При забавяне на бозони чрез охлаждане до температури, близки до абсолютната нула, се стига до едно ново агрегатно състояние – бозоните се оказват в своите най-ниските възможни квантови състояния и квантовите ефекти започват да се проявяват на макроскопично ниво.

• Преход на течния хелий в състояние на свръхфлуидност

Свръхфлуидността дължи съществуването си на ефекта на Бозе-Айнщайновата кондензация и заедно със свръхпроводимостта е най-забележителната проява на законите на квантовата механика на макро ниво.

Илюстрации на структурата на водната молекула и кристалната решетка на леда: “В.Ю.Скосарь“

Фазов преход е и преминаването на водата от течно агрегатно състояние в твърдо, а също и от газообразно в течно. Интересно е, че понижаването на температурата е придружено със загуба на симетрия, защото като течна, водата е по-хомогенна, симетрична във всички посоки, докато като кристал е такава само в определени направления.

Лев Ландау за фазовите трансформации

Във физиката са известни много други фазови промени, при които при точно определена критична температура, структурата на материала се променя напълно. Това включва кондензацията на газ в течност, прехода на нормален проводник в свръхпроводник, което се случва в редица материали, които губят всякакво електрическо съпротивление при ниски температури. Има и много други.

На пръв поглед, всички тези трансформации изглеждат много различни, но през 1930 г. руският физик Лев Ландау открил, че те имат общи черти. Той осъзнал, че при всеки случай, трансформацията на материала е придружена от загуба на симетрия и това прозрение е първата стъпка към изграждането на математическия модел на фазовите преходи. Теорията на Ландау е едно от най-важните прозрения във физика на 20-ти век.

Основна идея в анализа на Ландау е, че загубата на симетрия при фазовия преход е еквивалентна на печалба в подреденост, ред, както се случва с подредените атоми в примера за магните. Той предположил, че трябва да има параметър, който да измерва подредеността. Над критичната температура на фазовия преход, този параметър ще бъде нула, тъй като системата е напълно неподредена и симетрична. Под критичната температура на прехода, параметърът "ред" трябва има някаква ненулева стойност, която да измерва степента на подреждане В случая за магнита, параметърът на подреждане се нарича намагнитеност. Над критичната температура намагнитването е нула, а под критичната температура – не е нула. Намагнитването M може да се определи като:

М = (n₊ – n_- ) / (n₊ + n_- )

където n₊ е броят на атомите, сочещи нагоре и n_- е броят на атомите, сочещи надолу. С други думи, намагнитването е равно на излишъка от атоми, сочещи нагоре, разделено на общия брой на атомите. Над критичната температура, когато атомите са еднакво склонни да сочат нагоре или надолу, няма превес на нито една от двете посоки – намагнитването е нула.

M и енергията

Ландау представя израз за свободната енергия на системата от гледна точка на намагнитването  M. Ако системата се остави сама на себе си при дадена температура, тя бързо ще установи в топлинно равновесие – това е състоянието на най-ниска енергия. 

Можем да си представим система, която да наруши равновесието си при същата температура, в резултат на което, енергията се променя за кратко преди да се установи обратно в равновесие. Как този вариант зависи от намагнитването?

Системата е изключително сложна, така че не е възможно да се изведе зависимост от типа на горната, може да има всякакви видове взаимодействия между атомите и термичните колебания. 

За да останат нещата възможно най-прости, Ландау предположил, че енергията Е може да бъде представена във вид на полином на М :

Е (М) = a₀ + a₁M + a₂M² + a₃M ³ + …

Целта не е да се получи точната стойност на енергията, а само да видим как Е ще се променя спрямо М . Затова можем да пренебрегнем константата a₀ .

Би трябвало да пренебрегнем също и всички членове с нечетна степен като a₁M , a₃M ³, a₅M ⁵, защото атомите n₊ , сочещи нагоре ще дават положителен принос за енергията, а атомите n_- , сочещи надолу ще дават отрицателен принос, а това ще противоречи на предположението, че двете направления са напълно равностойнии.

Освен това, всички членове със степен, по-висока от четвърта, могат да се пренебрегнат, защото приносът им е пренебрежимо малък.

Резултатът е следния израз за енергията по отношение на намагнитването при температури близо до фазовия преход:

Е (М) = a₂M² + a₄M ⁴ или

Е (М) = αM² + βM ⁴

Най-лявата графика за β<0 няма минимум на енергия и това очевидно не може да представя физическа система.
Илюстрация: plus.maths.org	Формата на графиката на E(М) за β<0	Формата на графиката на E(М) за β>0 и α>0.	Формата на графиката на E(М) за β>0 и α<0.

Ландау твърди: над критичната температура, намагнитването М в термично равновесие е нула. Тъй като равновесието е най-ниското енергийно състояние, минималната вероятна енергия в този случай е за М = 0 – това е средната графика. Под критичната температура термичното равновесие настъпва при М различно от нула. Това съответства на третата графика.

По този начин, параметърът α не е еднакъв за всички температури. Над критичната температура α>0, а под критичната температура α<0 , при критичната температура е α=0. Изразено математически фазовият преход се дължи на промяната на параметъра α.

От физическа гледна точка, това, което се случва, е следното: Над критичната температура на графиката на енергията има един минимум при нула намагнитване. С падането на температурата, формата на графиката на енергията се променя, така че системата неочаквано се оказва в максимум, а не в минимум. Тя трябва да минимизира енергияра си, така че да попадне в един от минимумите. И двата са равностойни, така че това се определя на случаен принцип от топлинните флуктуации. Изразът на Ландау, свързващ енергията с параметъра на подредеността е приложим за редица фазови преходи и енергийните графиките се обобщават до по-високи размерност до познатото ни "сомбреро". През 1964г. Питър Хигс превежда идеите на Ландау на езика на физиката на елементарните частици и конструира модел, който демонстрира как симетрията може да бъде спонтанно нарушена.

Големия взрив

Най-драматичните фазови преходи са ставали в зората на раждането на нашата Вселена,

Нашата вселена най-вероятно е родена симетрична. По време на Големия взрив, всички частици са безтегловни и всички сили са обединени в единна изначална сила. Това състояние вече не съществува – тази симетрия е вече скрита от нас. Нещо се е случило само на 10-10 секунди след Големия взрив. Полето на Хигс загубило първоначалния си равновесие.

Илюстрация: graviton.co.in/

Как се е случило това ще говорим по-подробно в следващата публикация

Източник:

Спонтанное нарушение симметрии в ранней Вселенной, Роджер Пенроуз

"К открытию бозона Хиггса".Валерий Рубаков, физик, академик на РАН

Загадки массы, Гордон Кейн (Gordon Kane)

Secret symmetry and the Higgs boson (Part I), Nicholas Mee