Група на симетрия е съвкупността от всички ортогонални преобразования, при които някаква фигура ( тяло) съвпада сама със себе си. Тези трансформации се наричат симетрия. Елементи на симетрията са: център на симетрия; равнина на симетрия; ос на симетрия.
Видове симетрия
Симетрията спрямо равнина (огледална, двустранна, билатерална симетрия)
 |
 |
 |
| Две точки А и А’ са симетрични по отношение на равнината M, ако са разположени на една права, перпендикулярна на M, на едно и също разстояние от нея. Фигури и тела са симетрични спрямо равнината M, ако за всяка точка от тялото, съществува симетрична спрямо равнината друга точка от тялото. Ако се въведе в декартова ос координата Z, перпендикулярна на равнината на симетрия M (XY), всяка характеристика на системата ще се поддържа при промяна на знака на координатите F(x,y,z) = F(x,y,-z). Бележи се най-често с М. | ||
Осева симетрия (ротационно-цилиндрична)
 Снимка: Marine Ecology at Central Missouri State University in Jamaica |
 |
|
| Тялото има ос на симетрия n-ти ред Оn, ако при въртене около тази ос, тялото n пъти съвпада със себе си, а завъртанията са 360°/n. Самата операция на симетрия се бележи със Cn , където n e порядъкът на симетрия.
Ако едно тяло съвпада само със себе си, когато се завърта на какъвто и да е ъгъл, такова тяло се нарича осевосиметрично, а правата, около която се извършва завъртането на произволен ъгъл се нарича ос на симетрия. В този случай оста на симетрия може да се разглежда като ос на симетрия от безкраен ред O∞ и се превръща в пределна група. Най-простата пространствена фигура, която има ос на симетрия от безкраен ред O∞, е цилиндърът, затова този тип симетрия се нарича още цилиндрична симетрия. |
||
Симетрия инверсияЕдин не толкова познат вид симетрия. Всяка точка се проектира през началото на координатната система, спрямо центъра на симетрията, инверсия в диаметрално противоположна позиция. Всички координати променят знака си: F(x,y,z) = F(-x,-y,-z). Обозначава се с I. |
 |
Роторефлекторна симетрияРоторефлекторната симетрия е комбинация между осева и огледална симетрия: ротация около ос, в съчетание с отражение спрямо равнина, перпендикулярна на тази ос. На илюстрацията вдясно гиричката съчетава осева симетрия от 6-ти порядък и огледална симетрия. Според възприетите означения се бележи като S6. Кубът и октаедърът имат роторефлекторна симетрия S4. |
 |
Диедрална симетрия
Диедралната симетрия е също комбинация между осева и огледална симетрия: ротация около ос, а през всеки лъч минава равнина на отражение. Такава симетрия имат правилните многоъгълници и “звезди”. Морските звезди имат диедрална симетрия, защото всеки лъч им е сам по себе си двустранносиметричен, снежинките са също с диедрална симетрия.
 |
 |
 |
 |
| Снимките са от сайта: SnowCrystals.com
За снежинките вече говорихме в статията за снежинките като фрактали. Те, общо взето, имат симетрия от 6-ти порядък като всяка ос от осевата симетрия представлява и ос на огледална симетрия за всеки лъч. Прието е да се бележи с Dn (а понякога и Dih n ) за правилен многоъгълник с n страни Но по какъв начин всеки от 6-те лъча на снежинката “знае” колко и с какви форми са порастнали другите лъчи? Физикът от НАСА Самуел Толански (Samuel Tolansky) изказва предположението, че падащите снежинки, които преминават през студения въздух и улавят водната пара, вибрират според симетрията на кристалната си структура и тези вибрации определят как и с какви форми ще расте кристала. |
|||
Ротационна симетрия на Платоновите тела
 Схема: websters-online-dictionary.org |
Тетраедърът има 4 оси от трети порядък, минаващи през всеки връх и средата на срещуположната страна, а също и 3 оси от втори порядък през средата на всяка двойка перпендикулярни противоположни ръбове |
Сравнителна таблица на осите на симетрия на Платоновите тела
| Оси порядък: Тела: | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| Тетраедър | през средата на всяка двойка перпендикулярни на противоположни ръбове | минават през всеки връх и средата на срещуположната страна | ||
| Куб | перпендикулярни на всеки набор от противоположни ръбове | по всеки вътрешен диагонал (през противоположни върхове) | перпендикулярни на всяка двойка срещуположни квадратни стени | |
| Октаедър | перпендикулярни на двойка противоположни ръбове | перпендикулярни на всяка двойка от противоположни триъгълни стени | минават през противоположни върхове | |
| Додекаедър | перпендикулярни на двойка противоположни ръбове | минават през двойка противоположни върхове | перпендикулярни на всяка двойка петоъгълни стени | |
| Икосаедър | перпендикулярни на двойка противоположни ръбове | перпендикулярни на всяка двойка от противоположни триъгълни стени | минават през противоположни върхове |
Схеми: bgchaos, на основата на фигури от Wikipedia
Сферична (центра́лна) симетрияЦентрална симетрия по отношение на точка О е трансформация в пространството, при която точка X се проектира като точка Х’, така че т.О да е в средата на отсечката XX’. Точка О се нарича център на симетрия. В едномерното пространство (права), централната симетрия е равносилна на огледалната симетрия. В двумерното пространство е равносилна на завъртане на 180° около центъра на симетрия. |
 |
В 4-мерното пространство централната симетрия може да се представи като композиция от две завъртания на 180° около две взаимно перпендикулярни равнини, перпендикулярни в 4-мерен смисъл естествено.
 |
Централната симетрия може да се представи в n-мерното пространство като композиция от n последователни отражения относно n взаимно перпендикулярни хиперравнини, минаващи през центъра на симетрия. Под хиперравнина се разбира такова подпространствено измерение, което е с единица по-малко от околното пространство.
Например, в двумерното пространство хиперравнината представлява линия, а в триизмерното – равнина и др. |
| В четномерните пространства централната симетрия запазва ориентацията си, а в нечетномерните - не.
Две последователни преобразувания с централна симетрия са равносилни на транслация |
 |
 Схеми: bgchaos, на основата на фигури от Wikipedia |
Всички Платонови тела, с изключение на тетраедърът имат централна симетрия. |
Симетрия на сферата
Сферата има и централна, и огледална и ротационна симетрия. Центърът на симетрия е в центъра на сферата, равнината на огледална симетрия е всяка равнина, минаваща през центъра, ос на симетрия – всяка права, минаваща през центъра. Moже да се разглежда като една непрекъсната осева симетрия. Не случайно, древните гърци са смятали кълбото за най-съвършената форма.
Описва се от група SO(3). Локалната централна симетрия на пространството или средата се нарича изотропия.
Всяка характеристика на система, имаща сферична симетрия, зависи само от разстоянието й до центъра. По същият начин силата на гравитационно привличане между точкови тела зависи само от разстоянието между телата, затова се казва, че тази сила е сферично симетрична.
Транслационна (периодична) симетрия
 Гравюра “Осем глави”, M.C.Esher |
При този тип симетрия обектите остават неизменни при дискретни или непрекъснати транслации. Елементите от системата се повтарят по строго определени отмествания. Безкрайна равнина се покрива фигури с транслационна симетрия от начална позиция по формулата:
|
, където kx, ky е кое да е цяло число| Атомната структура на кристалите има транслационна симетрия. Тя се описва като сбор от повтарящи се в пространството еднакви елементарни клетки, с формата на паралелепипед с ръбове ax, ay, az (периоди на кристалните решетки) |  |
Транслационната симетрия е в основата на мозайките, за има отделна тема.
Ако се вгледаме в прочутите мозайки на Ешер ще забележим и транслационната симетрия (тя е в самото определение на патерна, мозайката) и комбинации от всички други симетрии:
 |
 |
 |
|---|---|---|
|
|
|
Илюстрации: MC Escher
Има и други видове симетрии, които са комбинации от изброените досега като спираловидната (хеликоидална, винтова) симетрия и др. За спиралите съм посветила цял раздел Спиралите-кривите на живота в този сайт.
Източник:
П.Пенчев, Симетрия на молекулите. Част 1., Списание “Коснос”, брой 2, 2006 г., kosnos.com
Формы и симметрия
Физика 10/6.10, Законы сохранения в механике,Заметки о симметрии, Слободянюк А.И.
Симметрия
Маркъс дю Сотой: Симетрията, загадката на реалността
Повороты в пространстве-времени
The art of M.C. Escher symmetry and physics
Неинтелигентният дизайн
![begem0t::b[io]log-пей ми пенке ле, кой ли ми те слуша](http://bgchaos.com/frends/begemot.png){kind=small}
Вашият коментар