Геометричните фрактали са известни още с името детерминирани фрактали. Наричат ги още класически или линейни фрактали.
Самоподобието се проявява на всички нива (мащаби). Детерминираните фрактали се образуват в процеса “итерация”(повече информация – тук).
Тези фрактали са лесни за построяване. В двумерния случай се получават с помощта на някаква начупена линия (или повърхност в тримерния случай), наречена генератор. За всяка стъпка от алгоритъма всяка от отсечките, съставящи начупената линия, се заменя с генератора, в съответния мащаб. В резултат на безкрайни повторения (итерации) на тази процедура, се получава геометрическия фрактал. По-подробно е обяснено тук.
Да разгледане някои по-известни геометрични фрактали:
Крива на Кох

Кривата на Кох е един от най-типичните детерминирани фрактали. Изучен от шведския математик Хелге фон Кох през 1904г. Генераторът на фрактала е равностранен триъгълник, страните на който са равни н 1/3 от дължината на голямата отсечка. Манделброт много е експериментирал с кривите на Кох, и получил такива фигури като Островите на Кох, Кръстовете на Кох, Снежинките на Кох и даже тримерни конструкции на кривата на Кох, използвайки тетраедър и прибавяйки по-малки по размер тетраедри към всяка от стените му. Кривата на Кох има размерност ln4/ln3 = 1.261859507.
Крива на Кох (вар.1)
|
Крива на Кох (вар.2)-Cesaro 1905)
|
Крива на Кох (вар.3)
|
Дракона от книгата “Юрски парк” на Майкъл Крайтън, (Хартер-Хейтуей)
Най-известният “литературен” фрактал. Откровенията на Малкълм от тази книга ми дадоха първия тласък да се занимавам с фракталите.
Може да се получи много лесно като последователно се сгъва на две лист хартия и се разтваря докато ъгъла стане 90о.



Повече за “дракона” на Хартер-Хейтуел може да се прочете в статията за IFS
Решетката на Сиерпински
Този знаменит фрактал е наречен на името на откривателя си – полския математик Вацлав Сиерпински, който го е описал 1915г. Манделброт го прави известен под името “въжето на Сиерпински” (Sierpinski gasket). Принципът на изграждането му е прост: всеки елемент се заменя с n брой подобни на него елементи. Според размерността си могат да бъдат:
Най-известни са триъгълника и четириъгълника (килима) на Сиерпински (Sierpinski carpet).
Триъгълник на СиерпинскиАтракторът е: 3 нови подобни фигури, разположени симетрично на 1/2 от страните. Размерност: ln3/ln2 = 1.585 |
|
Четириъгълник (килим) на Сиерпински(Sierpinski carpet)Атракторът е: 8 нови подобни фигури, по 3 на страна и по един на върховете. Размерност: 3ln2/ln3 ~ 1.9 Диагоналите на “килима” представляват множества на Кантор |
|
Крива на триъгълника на Сиерпински (arrowhead curves)Една крива, която след няколко итерации клони към фрактала Триъгълник на Сиерпински. |
|
Триъгълник на Сиерпински със завъртане.
Ако след след всяка итерация генераторът се завърта с определен ъгъл:
на левия долен ъгъл по посока, обратно на часовата стрелка | ![]() |
левия долен ъгъл, обратно на часовата стрелка, а десния долен ъгъл – по часовата стрелка едновременно с един и същ ъгъл | ![]() |
![]() |
ТриизмерниНай-известен в триизмерен вид е “килима” на Сиерпински, известен още като ” на Сиерпински-Менгер (Карл Менгер 1902 – 1985 -амер. математик). Атракторът е: 20 нови подобни тела, центрирани по 3 към всеки ръб. Размерност: ln20/ln3 ~ 2.7. Наподобява костна структура. След безброй итерации ще се превърне в “прах” на Кантор, както впрочем и нашите кости. |
и още един един вариант на тетраедър по Сиерпински: |
|
Че не разбирам нищо от фрактали ми е ясно, но при “крива на триъгълника на Сиерпински” първото изображение не е ли грешно (оределено не е крива :p)
Отбелязвам го просто за да се поправи ако е възможно или за да ми се изясни аз ли съм в грешка.