Скритите измерения на фракталната размерност

Скритите измерения на фракталната размерност

Опитайте се да измерите с конец дължината на бреговата линия на Англия на атласа. След това направете същото с морска карта. Интересното е, че вторият път ще излезе доста повече. Ако после отидете в Англия и измерите бреговата й линия с дърводелски метър, тази дължина ще бъде още по-голяма. Продължавайте този процес дотогава, докато в ръцете ви не се се окаже чертожна линийка, с която можете да измерите бреговата линия частичка по частичка, атом след атом. Манделброт често използвал този пример твърдейки, че бреговата линия на Англия има безкрайна дължина.

Смисълът на този непрактичен експеримент се състои в това, че разстоянията трябва да бъдат съизмерими по мащаб, положение и детайли. По-късно Манделброт определил, че фракталната размерност на бреговата линии на Англия е 1.25.
В 300 г. до н. е. Евклид започнал Книга с няколко определения, които били:

  1. Точка е това, което няма части.
  2. Линията е дължина без ширина.
  3. Повърхност е това, което има само дължина и ширина.В Книга XI, той добавил:

Обемна фигура е това, което има дължина, ширина и височина.

Понятието размерност се очертава в тези определения. Всеки знае, че точката има 0 размера, линията има размерност 1, квадратът е двумерен, а кубът – тримерен. Тази размерност се нарича топологична.
Тя се е използвала в течение на хилядолетия, но се оказва неточна при изучаването на фракталите.

Една от идеите, възникнала от фракталната геометрия била идеята за нецелите значения за броя на измеренията в пространството. Манделброт нарекъл нецелите измерения такива като 2.76 фрактални измерения.

Peano

Разгледайте фрактала, наречен Крива на Пеано. При негово създаване е необходимо да се започне с отсечка и тя да се замени с тази фигура:
След това, всяка от отсечките се заменя със същата тази фигура, и повтаряйки този процес безкрайно, получаваме квадрат.

 

След това, всяка от отсечките се заменя със същата тази фигура, и повтаряйки този процес безкрайно, получаваме квадрат. Минете с мишката върху цифрите долу за да видите този процес. Усетихте ли какъв е проблема? Фракталът се състои от отсечки, на които топологичната размерност е 1. Това обаче е неточно, защото получената фигура – квадрат е с размерност 2.

Цикли: 1 2 3 4 5 6
F крайно число, по-голямо от 0
I безкрайно число
Размерност Количество
Точки Дължина Площ Обем
D=0 F 0 0 0
0<D<1 I 0 0 0
D=1 I F 0 0
1<D<2 I I 0 0
D=2 I I F 0
2<D<3 I I I 0
D=3 I I I F

Ние не можем да използваме топологичната размерност за фрактали, но в замяна трябва да се използва т.н. фрактална размерност.
Въобще, формалното определение на фрактала е: това е фигура, чиято фрактална размерност е по-голяма от топологичната. Удивително е това, че фракталната размерност не трябва да е цяло число, а може да е дробна.

Както може да се види от таблицата вляво, сложността на фигурата се увеличава с размерността. Как може точно да се изчисли фракталната размерност може да се разбере тук

Прочети още ...

Що е то фрактал?

5 отговора към “Скритите измерения на фракталната размерност”

  1. стиано казва:

    А за времето нещо то не е ли 4аст от формацията на фракталите имам предвит 4е е нужно време да се “”копира фрактал”" може ли да се из4исли или това са само геометри4ни фигури които нямат нищо общо с времето

    • Vanya казва:

      Не са статични геометрични фигури. Както разбрахте, те се образуват с итерации и се развиват във времето. Има теории, че и времето е фрактално ;)

  2. morsono казва:

    Здравейте, чудесен сайт! Имам въпрос, свързан с твърдението, че бреговата линия на Англия има безкрайна дължина. Тогава всяка линия, освен ако не е идеална, има безкрайна дължина. Така ли да разбирам?

  3. Rumi казва:

    Невероятен сайт. Благодаря!!! :)

Вашият коментар

Or

Вашият email адрес няма да бъде публикуван Задължителните полета са отбелязани с *

*


Можете да използвате тези HTML тагове и атрибути: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>