Системи Итерируеми Функции – IFS

Публикувано на 22.01.2012 by Vanya Mileva

Няма коментари Оставете коментар Теми: Що е то фрактал?

IFS представлява система от някакъв фиксиран клас функции, преобразуващи едно многомерно множество в друго. Най-простата IFS се състои от афинни преобразователи на плоскост:

X’ = A*X + B*Y + C
Y’ = D*X + E*Y + F

През 1988 г. известните американски специалисти по теория на динамичните системи Барнсли и Слоан предложили някои идеи, основани на теорията на динамичните системи, за свиване(архивиране) и съхранение на графична информация. Те нарекли своя метод – метод на фракталното архивиране на информацията. Те създали алгоритъм, който ще позволи да се свие информацията 500-1000 пъти. Накратко метод може да се опише така: Изображението се кодира с няколко прости преобразования (в нашия случай – афинни), т.е. с коефициентите на тези преобразования (в нашия случай A,B,C,D,E,F).

Например, закодирайки някакво изображение с две афинни преобразования, ние еднозначно го определяме с помощта на 12-ти коефициента. Ако се зададе някаква начална точка (например X=0 Y=0) и стартираме итерационния процес, то след първата итерация ще получим две точки, слеа втората – четири, след третата – осем и т.н. След няколко десетки итерации съвкупността от получените точки ще описва закодираното изображение. Но проблемът се състои в това, че е много трудно да се намерят коефициентите на IFS.

За построение IFS използват освен афинни и други класове прости геометрични преобразования, които се задават с няколко параметъра. Например, квадратичните преобразования на равнина:

X’ = A1*X*X + B1*X*Y + C1*Y*Y + D1*X + E1*Y + F1
Y’ = A2*X*X + B2*X*Y + C2*Y*Y + D2*X + E2*Y + F2

Като пример за използване на IFS за построяване на фрактални структури, да разгледаме няколко известни фрактални криви. Ще отделим в техните структури подобните части и, за всяка от тях ще изчислим коефициентите на афинно преобразование. В афинния колаж ще бъдат включени толкова афинни преобразования, колкото са частите, подобни на цялото изображение.

Дракон на Хартер-Хейтуел

Да построим IFS за “дракона” на Хартер-Хейтуел. За тази цел да разположим първото поколение на този фрактал в координатната мрежа на дисплея 640 x 350 . Да обозначим точките получената начупена линия A, B, C. По правилата за построение, този фрактал има две части, подобни на цялото – на схемата вдясно това са начупените линии ADB и BEC. Знаейки координатите на краищата на тези отсечки, може да се изчислят коефициентите на две афинни преобразования, превръщащи начупената линия ABC в ADB и BEC:

X’ = -0.5*X -0.5*Y + 490
Y’ = 0.5*X -0.5*Y + 120
X’ = 0.5*X -0.5*Y + 340
Y’ = 0.5*X +0.5*Y – 110

Задавайки начална стартова точка (например X=0 Y=0) и въздействайки итерационно на нея с помощта на тази IFS, можем да проследим развитието на фракталната структура, така добре известна ни от книгата на Майкъл Крайтън “Юрски парк”, или т.н. “дракон” на Хартер-Хейтуей. Неговия код (кратко описание) е набор от коефициенти на две афинни преобразования.