Принцип на тъждествеността

Принципът на тъждествеността е един от основните принципи на квантовата механика, според който всички възможни състояния на система от частици, получени от пермутациите на местата на тъждествени частици, не могат да бъдат различени от никакъв експеримент, та всички тези възможни състоянияи трябва да се разглеждат като едно физическо състояние. Принципът на тъждествеността е една от основните разлики между класическата и квантовата механика. Неразличимостта на тъждествените частици опровергава формулирания през 1663г. логичен принцип от Лайбниц, според който не може да има две неща в света, които да не се различават по нищо.

Тъждествените частици. Как може да различим две частици?

Има два начина:

• по свойствата им

Ако съществуват вътрешни различия на физичните свойства на частиците: маса, електрически заряд или спин, тогава можем да ги различим, измервайки съответните параметри. Микроскопичните частици от един и същи тип имат напълно еднакви физически свойства – всички електрони, в цялата Вселена имат един и същ електрически заряд, маса, спин, както съответно имат еднакви характеристики всички протони, неутрони, фотони, кварки и пр.

• по траекториите им

Според класическата механика винаги е възможно да се проследи движението по траекториите на отделните частици и по този начин да се различат една от друга За да няма неяснота за коя частица става въпрос, трябва да можем да измерим позицията на всяка частица с безкрайна точност, което обаче противоречи на принципите на квантовата механика. Според квантовата теория, частици нямат определени положения между измерванията. Вместо това, състоянието на частица в квантовата механика се описва от вълнова функция ψ, която позволява да се определи само вероятността ψ² за намиране на частицата в дадена точка в пространството.

В случай на припокриване на вълновите функции в пространството на две или повече тъждествени частици или на възможните области на нахождения на тъждествените частици, няма никакъв смисъл да се говори коя от частиците е в дадена точка. Има смисъл да се говори само за вероятността за откриване на една от тъждествените частици в някаква точка.
Заради това, че в квантовата механика частиците са неразличми, не може да се каже точно как е станала срещата между частиците 1 и 2 – дали са продължили леко отклонявайки се или са се върнали обратно. Илюстрация: wikipedia

Симетрични и антисиметрични състояния

Представете си система от два тъждествени частици. Да предположим, че една от частиците е в състояние |n₁>, а другата е в състояние |n₂>. Преди измерване, няма начин да знаем коя частица е в състояние 1 и коя частица е в състояние 2, тъй като частиците са неразличими, така че има равни вероятности всяко от състоянията да се случи – което означава, че системата е в суперпозиция на две състояния преди измерването.

Експерименталният опит показваа, че ако разменим две идентични частици, вълновата функция или остава непромена, в зависимост от вида на частиците или само променя знака си. Ако векторът на състоянието на системата двойка частици е сума, то е симетрично, ако състоянието на системата е разлика – е антисиметрично.	Симетрична вълнова функция за състоянието на двойка частици за безкрайна площ и потенциал (бозони).	Антисиметрична вълнова функция за състоянието на двойка частици за безкрайна площ и потенциал (фермиони).
Графики: en.wikipedia

Забележете, че ако n₁ и n₂ са едни и същи, изразът за антисиметрични състояния дава нула. С други думи, в антисиметрично състояние, две идентични частици не могат да заемат едни и същи състояния. Това правило е известно като принцип на изключване на Паули, което важи за “веществените частици” – фермионите и е основната причина за химичните свойства на атома и стабилността на материята. Вълновата функция описваща система от бозони е симетрична откъм размяна на частици. Поради тази симетрия, бозоните не се подчиняват на Принципа на Паули, и броят бозони, които могат едновременно да са в дадено квантово състояние, е неограничен. Така, същината на принципа на тъждествеността се проявява в емпиричния факт, че в природата системите тъждествени частици имат само два класа вълнови функции:

Бозе – Айнщайн. Квантовата статистика

През 1924 г., индийският физик Сатиендра Нат Бозе, изследвайки поведението на групи от фотони, открива, че двата класа елементарни частици – със спин неотрицателно цяло число (0, 1, 2, …) или нечетно число половинки (1/2, 3/2, …), се държат по различен начин. Установил е, че фотоните, чиито спин е 1, принадлежат към първата група, наречена по-късно в негова чест бозони, за разлика от втория вид, наречен фермиони, включващ например електроните, чиито спин е 1/2. Както разказах в принципа на Паули, Бозе установил, че двата класа се държат по различен начин: фермионите са склонни да се избягват един друг, като всеки електрон в групата заема отделно квантово състояние (с различно квантово число или например енергия). За разлика от тях, неограничен брой бозони могат да имат едно и също енергийно състояние и да споделят едно и също квантово състояние. Бозе използва нов начин за преброяване на състоянията на идентични частици като създава нова много важна област - квантовата статистика. Статията му не е приета за публикуване и той я изпраща директно на Айнщайн. Айнщайн веднага оценява теорията на Бозе и я доразвива и за атоми. Той доказва, че при изключително ниски температури, бозонните атоми ще се обединят в едно общо квантово състояние с най-ниска възможна енергия, което по-късно става известно като кондензат на Бозе -Айнщайн (BEC). Разпределението по енергийни нива в състояние на термодинамично равновесие на частиците от Бозе-Айнщаиновия кондензат се определя от статистиката на Бозе-Айнщайн.

Статистически разпределения

Разпределението на частиците може да се реализира по най-различни начини. При статистическите разпределения се търси най-вероятното разпределение на частиците, което е и равновесното. Предполага се, че частиците не си взаимодействат една с друга, което важи за модела на идеален газ и се предполага, че всички разпределения водят до една и съща сумарна енергия на частиците и се реализират с еднаква вероятност.

Статистика на Максуел-Болцман

(1)

(2)

(3)

В извода на разпределенията в класическата физика се приема, че еднаквите частици са различими. Тази предпоставка води до това, че разпределение, при което ако едната от две еднакви частици – частица 1 – е в състояние A, а частица 2 – в състояние B , разпределението, при което частицата 1 е в състояние B, а частицата 2 – е в състояние A са две различни разпределения. В класическата физика, случаят (3) има двойна тежест в сравнение с а (1) или (2), защото частиците могат и да разменят местата си, а те са различими в класическата физика. Това ни дава четири комбинации общо и по този начин можем да заключим, че вероятността за намиране на една частица в едно състояние е 1/2. Това е пример на статистиката на “Максуел-Болцман”, използвана от началото на миналия век. Според теорията на вероятностите, разпределението по  Максуел – Болцман може да се разглежда като произведение на вероятностите на две независими събития – вероятността от дадена стойност на импулса и от дадено положение на частицата.

Разликите между статистиките на Максуел – Болцман, Бозе-Айнщайн, Ферми-Дирак за 2 частици за 2 възможни състояния

Дори система от две частици показва различно статистическо поведение между различими частици, бозони и фермиони.	Илюстрация: es.wikipedia
Таблица 1: Статистика на две частици Частици И двете 0 И двете 1 Едната 0 а друата 1 Различими 0.25 0.25 0.5 Бозони 0.33 0.33 0.33 Фермиони 0 0 1 В табличката са обобщени резултатите, като под 1 се разбира пълна клетка (наличие на частица в това състояние), а под 0 – празна клетка (липса на частица в това състояние).

Разликите между статистиките за 2 частици за 3 възможни състояния

В квантовата механика, заради разликите в свойствата на частиците на Ферми и на Бозе, ще се различават значително по своите статистически разпределения.

Ще илюстрираме разликата в разпределението на класическите и квантовите частици (фермиони и бозони) в следния пример. Да предположим, че трябва да се разпределят две частици в три състояния (клетки). Класическите частици, заради тяхната различимост, ще отбележим с 1 и 2. Квантовите частици, защото са фундаментално неразличими, ще бъдат означени с еднакви черни кръгчета. Освен това фермионите, в съответствие с принципа на Паули, могат да бъдат само по един в една клетка, докато за бозоните няма никакви подобни ограничения

Функциите за разпределение

Функцията за разпределение е обобщение на случаите на отделни (дискретни) вероятности. При тези функции енергията може да се разглежда като непрекъсната променлива. Има три различни функции за разпределие в природата: според класическата физика (статистика на Болцман-Максуел) и според вида на частиците – бозони, подчиняващи се на статистиката на Бозе-Айнщайн или фермиони, подчиняващи се на статистиката на Ферми-Дирак (и на принципа на Паули).

f (E) е вероятността една частица да се намира в енергийно състояние E. A в знаменателя за всяко разпределение е нормализираща константа, която може да се променя с температурата Т. За фотони, A = 1, така че заемането на много ниски енергийни състояния може неограниченно да расте. к е константата на Болцман. X е параметър, който за класическата статистика на Болцман-Максуел е 0, за статистиката на Бозе-Айнщайн е -1, а за тази на Ферми-Дирак е +1

Формулата има експоненциална зависимост на енергия и температура. Вероятността за заемане на дадено енергийно състояние намалява експоненциално с енергията. Ето как изглеждат различните статистики:

Класически разпределения	Квантови разпределения
Болцман-Максуел	Бозе-Айнщайн	Ферми-Дирак
Идентични, но различими частици.	Идентични неразличими частици с цяло число спин (бозони ).	Идентични неразличими частици с полуцял спин (фермиони).
Няма ограничение за броя на частиците, които могат да заемат дадено състояние. При термично равновесие, разпределението на частиците между наличните енергийни състояния ще бъде най-вероятното разпределение в съответствие с общата налична енергия и общия брой частици. Всяко определено състояние на системата има еднаква вероятност. С увеличаване на енергията Е, е все по-малко вероятно, че някаква частица ще постигане тази енергия, а повече частици ще бъдат с по-ниски енергии. Предполага се, че неограничен брой частици могат да заемат всяко енергетично състояние.	Описвайки целочислени спин бозони, това разпределение позволява неограничен брой частици да са в едно ниво.	При абсолютна нула, фермионите ще запълнят всички налични енергийни нива под нивото EF наричено енергия на Ферми и тогава вероятността f (E)=1, а за енергийни състояния над EF, вероятността f (E)=1. При по-високи температури, някои частици ще имат енергии над нивото на Ферми. Това е в пълно съответствие с принципа на Паули, където на едно квантово състояние може да има само една частица.
	Разликата при квантовото разпределение се поражда от факта, че частиците са неразличими.

Графики на разпределението

Интересно е да сравним графиката на зависимостта между средния брой частици с квантово състояние с енергия E и E/kT за различните крантови разпределения с класическото статистическо разпределение по Болцман-Максуел:

• Разпределението по статистиката на Бозе-Айнщайн

Тъй като разпределението на Бозе-Айнщайн е значително по-различно от разпределението на Болцман, газът от бозони е изроден газ. При E/kT>>1 тези разпределения съвпадат. Разликата между разпределенията се наблюдават при E/kT<1. В този случай ще се проявят свойствата на бозонния газ, дължащи се на квантовата природа на неговите частици. В случай на ниска плътност <<1 бозонният газ се разрежда и се държи като идеален газ. Ниските енергийни състояния са по-вероятни за статистиката Бозе-Айнщайн, отколкото за статистиката на Максуел-Болцман. При много ниски температури, бозоните могат да се “кондензират” в най-ниското енергийно състояние. Феноменът е наречен кондензат на Бозе-Айнщайн.

• Разпределението по статистиката на Ферми-Дирак

Що се отнася до фермионите, при E/kT>>1 разпределенията според статистиката на Ферми-Дирак и тази на Максуел-Болцман са едни и същи. Съществена разлика между тях се наблюдава при E/kT<1. Класическите частици могат да се натрупват в едно и също състояние в големи количества. За тях колкото повече расте , толкова по-ниско енергийно състояние имат частиците. За разлика от тя, максималният брой на фермионите в едно квантово състояние не може да надвишава единица, което е в съответствие с принципа на Паули.

Разпределението на Ферми-Дирак при малки числа на запълване или в т.н. случай на разреден фермионен газ, преминава в класическото разпределение на Болцман. Разпределението на Болцман в случая на малки числа на запълване преминава в разпределение на Бозе-Айнщайн. Следователно, можем да заключим, че разредените квантови газове в случаите за бозони и за фермиони не се израждат и се подчиняват на класическите статистики. Въпреки че квантовата статистика в този случай води до същите резултати, както на класическата, квантовата природа на газовите частици остава непроменена. Газ, чиито свойства са обусловени заради неразличимостта на тъждественните частици в квантовата механика, се различават от тези на класически идеален газ, се нарича изроден газ. За него – в следващата публикация.

Източник: Распределение Ферми-Дирака, кафедра физики МГТУ, Л.К. Мартинсон, Е.В. Смирнов Распределение Бозе-Эйнштейна, кафедра физики МГТУ, Л.К. Мартинсон, Е.В. Смирнов The Energy Distribution Function, HyperPhysics The Bose-Einstein Distribution, HyperPhysics The Fermi-Dirac Distribution, HyperPhysics BEC Homepage, colorado.edu Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика Identical particles, en.wikipedia Partículas idénticas, es.wikipedia Identity and Individuality in Quantum Theory. Eintrag In : Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of Philosophy