Стереографична проекция за гущери

Един особено полезен вид проекция в математиката се нарича стереографична проекция. Това става по следния начин. Поставяме сферата на равнината, точката на докосване остава фиксирана, така “Южния полюс” се поектира в нея, а “Северният полюс”, обратно, се проектира в безкрайността. Всяка друга точка на повърхността на сферата се проектира на уникално място върху равнината, в точка, получена от пресичанято на равнината с линия, определена от точката на Северния полюс и точката от сферата, която искаме да изобразим. Такава карта се нарича диаграма на Шлегел:

Стереографична проекция може да използваме за да видим проекция на 3D многостен върху 2D равнина и макар че този метод деформира разстоянията, все пак се получават доста точна представа, а ако търколим сферата по равнината, проекцията е впечатляваща.

Нека да впишем куб в сфера като го надуем като балон, докато не стане кръгъл. Повърхността на куба се състои от шест квадратни стени. Да разгледаме тяхната проекция върху сферата от центъра по направление на радиуса. Сферата сега е разделена на шест области, които разбира се не са квадратни, защото техните граници са дъги. Ние можем да направим проекция върху равнината като го претъркаляме върху нея.

Едно 2D-същество – флатлендер или Ешерски гущер би разбрало доста от проекцията върху равнината: броя на върховете, ръбовете и стените, как са разположени едни спрямо други.

Стереографична проекция на 4D политопи

За сферите посветихме отделна публикация, в която вече казахме, че сферата в 3D- пространството е двумерна, дебелината й е нулева. Аналогично, сферата в 4-мерното пространство е 3-мерна, т.е. ще липсва четвъртото измерение, т.е. ще има обем. Ако обобщим: сфера в n-мерно пространство ще има размерност n-1 и можем да използваме символа S^n-1.

Може да опитаме същия метод, но увеличавайки размерността с единица. Първо раздуваме 4D-многостена, докато не се допре до сферата S³. Вместо да проектираме сфера S² върху допирателна равнина, ще проектираме сфера S³ върху допирателното тримерно пространство.

Източник:
Dimensions