Итерации

Публикувано на 22.01.2012 by Vanya Mileva

Няма коментари Оставете коментар Теми: Що е то фрактал?

Въведение в понятието “итерация”
Във всеки фрактал има безкрайно повторяща се форма. При създаване такъв фрактал, естествено е, че най-простия начин се състои в това, да се повторят няколкото действия, които създават тази форма. Вместо думата “повторение” използваме математическия синоним “итерация”.Фактически всеки фрактал може да бъде създаден с итерации на някакво правило.
Например, правилото за създаване на Снежинката на Кох е:
За да се създаде истински фрактал, трябва да се извърши итерацията безкрайно количество пъти. Но при изпълнението му на компютър, ние сме ограничени от скоростта и количесвото точки, затова итерациите се изпълняват определено количество пъти.
Увеличението на броя на итерациите прави фракталите по-точни.
	след I-вата итерация	след IV-тата итерация
Съществуват три основни вида итерации: 1. Заместваща итерация — Създава фрактали, заменяйки едни геометрични фигури с други. 2. Итерация ИФС — Създава фрактали, прилагайки геометрични преобразования (тип завъртане и отражение). 3. Итерация с формули — включва няколко начина за създаване на фрактали, повторяйки някаква математическа формула или няколко формули. Съществуват също няколко не основни видове итерации. Например, фрактали може да се създават, повтаряйки процес на сгъване на хартия. Обаче същите тези фрактали могат да се образуват и с някои от изброените стандартни методи

Заместваща итерация
Започваме с фигура, наречена основа. След това всяка част от основата заместваме с друга фигура, наречена мотив. Извършваме това заместване безкрайно количество пъти, докато завършим фрактала.
Например, да опитаме да направим фрактал с тази основа и мотив:
Започвайки с триъгълник, заменяме всяка негова страна с мотива:
Отново заменяме всяка от 12-те отсечки с мотива и продолжаваме процеса. Накрая получаваме фрактал, наречен Снежинката на Кох
С различни основи, мотиви и начини на заместване на мотивите могат да се получат много разнообразне фрактали. Заместващата итерация се прилага в създаването на реалистични модели на икономиката.

L-системи

Заместващата итерация е много проста. Но за компютър, не е достатъчно да имаш изображението на основата и мотива. Необходим е начин за съхранение на данните за фракталите, който да не се изразходва много памет и позволява да създават прости алгоритми за изчертаване на фрактали. Най-добрия подобен начин са L-системите. Разработени са от А. Линденмайер (“L” в думата “L-система” ).
Те са съставени от определяне на ъгъла, аксиома и поне едно правило. Аксиома наричаме началната форма (основа), която ще се използва в процеса на създаване на фрактала. Правилата указват, какви символи в аксиомата трябва да бъдат заменени с други символи.

СИМВОЛИ
Общи символи		Сложни символи		Символи за цветяване
F	Движение напред, със следа	@n	Да се умножи дължината на отсечката на n	Cn	Да се установи цвят номер n
G	Движение напред, без следа	I	Пред число означава делене вместо умножение	<n	Да се намали номера на цвета с n
+	Завъртане против часовата стрелка	Q	Пред число дава квадратен корен	>n	Да се увеличи номера на цвета с n
-	Завъртане по часовата стрелка	!	Променя знака от + на -
\|	Завъртане на 180 ^о	[	Да се вкара сегашната позицията на курсора в паметта
		]	Да се извади последната записана позиция на курсора от паметта

Например, Снежинката на Кох използва следната основа и мотив:

Използвайки L-система, можем да го запишем като:

Koch {

Angle 60

Axiom F – - F – - F

F = F + F – - F + F

}

; L-системата започва с названието, следва скоба

; това е ъгъла, който подхожда на дадения фрактал

; три страни с две завъртания по часовата стрелка на 120 градуса

; всяка страна се заменя с мотива (F +F- -F + F)

; скобата означава повторение

Болшинството фрактали с фрактална размерност от 0 до 2 могат да бъдат изразени, използвайки L-системи. Комбинация от няколко символа и правила могат да се създадат много сложни фрактали. Такива L-системи се използват, за да се създават реалистични модели на растения.

Системи Итерируеми Функции (Iterated Functions System – IFS)

IFS (итеративни функционални системи) представят още един начин за създаване на фрактали. Този метод е основан на точка или фигура, която се заменя с няколко по-малки фигури.

Например, съществува много прост начин за изчертаване на Триъгълника на Сиерпински. Започвайки с триъгълник, заменяме го с три малки триъгълници:Продължавайки този процес на итерация, ние заменяме всеки от тези три триъгълника с други триъгълници и продължаваме много пъти:

Замяната на една форма с друга форма се нарича геометрично преобразование. В горния пример има два вида преобразования: транслация (движение на триъгълниците) и изменение на размера на триъгълниците. Третият вид преобразование е въртенето. То може да се използва за създаване на фрактали, в които самоподобните части са разместени под различни ъгли. Например, за да се създаде реалистичен модел на дърво, има нужда от въртенето за клоните. Другите видове преобразования, тип огледално отражение и инверсия могат да се използват за създаване на огромно разнообразие от фрактали.

IFS значително облекчават алгоритмите за изчертаване на фракталите. За двумерни фрактали всичко, което трябва да сложите в паметта на компютъра,
е списък с всички преобразования с 6 параметри за всяко:

X’ = A*X + B*Y + CY’ = D*X + E*Y + F

1. Хоризонтално движение

2. Вертикално движение

3. Въртене около вертикалната ос на изображението

4. Въртене около хоризонталната ос на изображението

5. Разстилане по вертикалната ос на изображението

6. Разстилане по хоризонталната ос на изображението

За 3-мерните фрактали са необходими допълнително още 3 параметра за третата ос. IFS могат да се използват за създаване на повечето фрактали, освен формулните фрактали. Ако желаете, тук може да научите как с помощта на IFS може да се построят някои фрактални
структури.

Формулна итерация

Формулната итерация е най-простия вид итерация, но е най-важния и дава най-сложни резултати. Той е основан на използването на математически формули за постоянно изменение на числата.

Три вида фрактали могат да бъдат създадени, използвайки различни видове итерации на формулите:

Атрактори – започвайки с координатите на някаква точка, се определят координатите на всяка следваща точка като се изполва формула.
Фрактали Джулия – започва се с координатите на някаква точка. Оцветява се в зависимост от това, което се случва с нея след итерацията. И така за всяка точка.
Фрактали Менделброт – започва се от точка (0, 0). Изполва се формула, която изполва координатите на някаква друга точка като константа във формулата. Оцветява се следващата точка в зависимост от това, какво се случва с (0, 0) след итерацията. Същото за всяка точка.

Теми: Що е то фрактал?