Едно сомбреро с марка Голдстоун

За функцията на Лагранж  вече споменах в Локални калибровъчни симетрии, но тук е необходимо отново да се върнем към нея.

Лагранжианът или функция на Лагранж, в най-простия случай, представлява разликата между кинетичната и потенциална енергия на системата, записана като функция от променливите на състоянието на системата – обобщени координати и техните производни по време или обобщени скорости.

Функцията на Лагранж за полета се нарича плътност на Лагранж или лагранжиана. И за скаларно поле ( полето на Хигс е също скаларно) може да се запише също:

 L=T – V, където Т е кинетичната енергия на поле или частица, а V и неговата потенциална енергия.

Представете си една топка, хвърлена нагоре във въздуха: с увеличаването на височината (расте потенциалната енергия V ), тя губи скорост, т.е. кинетична енергия

Плътността на лагранжиана за реaлни скаларни полета φ може да се запише и така:

L = T – V = ½(∂_µφ)² – (½µ²φ² + ¼ λφ⁴), където

φ e скаларното поле, ∂ е знакът за производна, а заедно двете изразяват промяната на полето спрямо позицията му в пространството. Първият член отразява кинетичната енергия. Второто събираемо е на мястото на потенциалната енергия и зависи от два реални параметъри µ² и λ.

Независимо от тяхната стойност, се вижда, че L е симетрична по отношение на замяната на полето с неговата противоположна стойност: φ(x) → – φ(x). А знаем, всяка симетрия обикновено отразява закон за запазване според теоремата на Ньотер.

Нека да изследваме потенциала V като дадем на двата параметъра µ2 и λ положителни стойности. Формата на функцията на потенциала е парабола, с минимум където полето става равно на нула – графиката вдясно. Да си представим една частица, която е на мястото φ(x)=0 – минималната стойност на потенциала. Частицата може да се движи около тази стойност, произвеждайки малки трептения – пертурбации на физическото си състояние, които можем да изчислим съгласно квантовата теория на полето с помощта на метода на пертурбациите. Разликата в потенциала, предизвикана от пертурбациите е малка, така че ефектът й е малка промяна в движението на частицата. Частицата има маса >0, съответстваща на способността й да се противопоставя на всякакви опити да бъде изместена от точката, в която φ(x)=0. Това наричаме инерция.

По-интересен е случаят, ако µ2<0. (дясната диаграма). Ако членът от уравнението, изразяващ потенциалната енерия получи отрицателна стойност заради µ2<0 , ще получим частица с имагинерна маса (за тази възможност съм разказала в Тахионите – акушерите на Вселената). Такава частица губейки енергия, ще се ускорява, ще оказва “отрицателна съпротива” срещу всякакви опити за преместването й от нулевата точка, където φ(x)=0. Потенциалите намаляват и в двете посоки, така че е енергийно благоприятното положение за полето ще се изтърколя надолу към една от двете седловидни точки. Те са разположени за стойностите:

Свикнали сме да наричаме минимума на потенциалната енергия “вакуум” . Но в случая на потенциал с отрицателно µ²<0, вакуумът не отговаря на нулевата стойност на полето, а за стойност v. Може да се поправи ситуацията като изместим нулевата точка на φ(x) в минимума + v, като се въведе φ(x) = v + η(x) . Сега на лагранжианът ще изглежда така:

L’ = ½(∂_µη )² – λ v²η² – λ vη³ – ¼ λ η⁴

На пръв поглед, всичко е наред с лагранжианът на изместеното поле η(x): вакуумът на полето има нулева стойност, сега е истински вакуум, полето има маса с положителен знак. Но заменената: L ‘ не е симетрична за операцията η(x) → – η(x).

Трябва да се отбележи, че физиката на полето, описана от L, не може така лесно да се промени в резултат от просто изместване с константа – всъщност симетрията е все още там, но е “скрита” заради нашия избор за вакуум при стойност +v от оригиналното поле. Симетрията на L генерира израждането на вакуума като две отделни стойности за минимума за v . С избора на един от двата възможни вакуума, симетрията “се скрива“.

Илюстрация: tiasang.com.vn

Разгледахме двумерния случай с огледална симетрия, за пространството случаят е аналогичен (с по-сложна математика).

Можем да напишем лагранжиан, който е симетричен при непрекъснати трансформации на полето:

L = (∂_µφ) † (∂_µφ) – µ²φ † φ – λ(φ † φ)²,

Полето φ в израза е комплексно скаларно поле , знакът, подобен на меч – † е комплексен спрегнат оператор

Ако оставим сложната математика настрана, това е израз, който остава инвариантен, ако променим полето с фазова трансформация , с която се запознахме в Локални калибровъчни симетрии.

Точката φ(x)=0 е симетрична спрямо абелевата група на преобразувания U(1), по точно на електрослабата симетрия SU(2)×U(1), но това състояние е неблагоприятно енергийно и следователно нестабилно.

Какво би се случило, ако приемем µ²<0 и λ>0 ?

Ще получим уравнение на полето с имагинерен член и ще имаме не само два, а пълен кръг от минимуми за потенциала с формула: φ₁² +φ₂² = – µ²/λ (това е формула на кръг x² + y² = r² със център 0). Ще имаме безкраен брой от възможности за избор на минимална точка на енергия – вакуум, т.е. ще получим познатото сомбреро. Това води до асиметрия на вакуума в смисъл, че основното състояние вече не е инвариантно на симетрията U(1), който се трансформира стойността на полето чрез спонтанно нарушаване на симетрията.

Тахионна кондензация

Тахионите са клас частици, чиято реалност все още не е доказана, но съществуването им не противоречи на уравненията на специалната теория на относителността. Тези частици притежават много непривични за нас свойства. Те се движат със скорост, по-голяма от скоростта на светлината във вакуум. Имат имагинерна маса (квадратът на масата им е отрицателен). Имагинерната маса означава, че системата е нестабилна и решенията растат експоненциално.

За нас е естествено една частица ако губи енергия да забави движението си. При тахионите е обратното: губейки енергия, той се ускорява. Тахионното поле в близост до нулевата си точка образува локален максимум на потенциала.

Точно това се случва в локалния максимум при φ(x)=0. Произволна стойност на φ(x) ще доведе полето φ до състояние “да се търколи” надолу с експоненциално нарастващи амплитуди и се установява в основното състояние, което се нарича тахионна кондензация:

След като полето достигне минимума на потенциала, неговите кванти ще имат вече неотрицателен квадрат на масата, т.е. няма да са тахиони повече.

Намбу-Голдстоун бозони

Този модел, съгласно теоремата на Голдстоун, предполага съществуването на безмасови скаларни частици, които се движат кръгово по дъното на “периферията на сомбрерото”. Наречени е бозони на Намбу-Голдстоун. При движение по протежение на тази окръжност няма никакъв разход на потенциална енергия, така че енергията на такава частица е чисто кинетична енергия, което предполага според квантовата теория на полето, че масата й е нула.

Илюстрация: preposterousuniverse.com

Съществуват и бозони, за които симетрията на калибровъчната група не се нарушава и тези бозони имат непрекъснат спектър от всякакви маси, но бозоните на Голдстоун не срещат никакво съпротивление, те си нямат нищо – нито инерция, нито маса. С други думи голдстоуновите бозони не са “реални” частици, ако съществуваха безмасови скаларни частици, светът би изглежал по много по-различен.

Механизмът на Хигс се справя със проблемите на теориите на Голдстоун и на Янг-Милс

Салам и Уайнбърг са се опитали да опровергаят теоремата на Голдстоун, но без успех. По същото време вече съществува една  красива теория с локалната калибровъчна симетрия, която описва изоспиновата симетрия между протоните и неутроните – теорията на Янг-Милс, но тя също имала непреодолими наглед проблеми. Анализирайки калибровъчните трансформации, Янг и Милс установили, че те генерират поле, чиито кванти пренасят взаимодействието между протони и неутрони. Квантите били три: два заредени (положително и отрицателно) и един неутрален. Те имали нулева маса и спин единица, т.е. са векторни бозони и се движат със скоростта на светлината. А такова нещо като заредена частица, движеща се със скоростта на светлината няма.

Така, оказва се, че два физични модела, отличаващи се с красота и с потенциал да бъдат в основата на съвременната физика имат проблеми, защото прогнозира съществуването на кванти, които не може да има:

• Бозоните на Намбу-Голдстоун – безмасови скалари;
• Бозоните на Янг-Милс – безмасови векторни бозони със заряд.

Пробивът идва от експерти по физика на кондензираните среди. През 1961 г., Йотииро Намбу забелязал, че при преход на метал от нормално към свръхпроводящо състояние, симетрията спонтанно се нарушава, но не се появяват безмасови частици. Две години по-късно, Филип Андерсън отбелязал, че ако електромагнитното поле не се  подчинява на теоремата на Голдстоун, то същото може да се очаква от други калибровъчни полета с локална симетрия. Той дори прогнозирал, че бозоните на Голдстоун и бозоните на Янг-Милс може по някакъв начин да се елиминират взаимно, оставяйки след себе си масивни частици.

Това предсказание се оправдало през 1964 г. от физиците от Свободния университет в Брюксел, Франсоа Енглерт и Брут Роджър, Питър Хигс и сътрудниците на лондонския Имперски колеж Джери Гуралник, Робърт Хаген и Томас Кибл. Те не само показали, че в полетата на Янг-Милс няма условия за прилагане на теоремата на Голдстоун, но и намерили начин да придадат на квантите на тези полета ненулева маса. Това днес се нарича механизъм на Хигс.

Хигс-полето и полето на Янг-Милс

Полето на Хигс, както го определихме по-горе е скаларно поле със спин нула, а полето на Янг-Милс е векторно поле и се представя с квант със спин единица. По какъв начин механизмът на Хигс поражда маси у квантите на полето на Янг-Милс?

Безмасовите бозони имат три възможни спин ориентации: успоредна, антипаралелна и напречна на посоката на движение, но само две от тези състояния са наблюдаеми. Напречното състояние не съществува и това е характерна черта на всички безмасови частици, които се движат със скоростта на светлината.

Ако частиците на Янг-Милс придобият маса, напречното състояние ще стане наблюдаемо. Източникът е безмасов бозон със спин 0 – бозонът на Хигс Всеки безмасов векторен бозон на Янг-Милс се обединява с един безмасов скаларен бозон на Хигс със спин 0 и като резултат квантът на Янг-Милсовото поле придобива маса и допълнително напречно спиново състояние, а Хигс – частицата го губи. Тя става като Голдстоуновите бозони – скаларна и без маса – само “дух”. В Международния център по теоретична физика в Триест, Абдус Салам дава едно шеговито описание на процеса: Безмасовите Янг-Милсови частици “се нахранват” с Хигс-бозоните и “напълняват”, а “изядените” Хигс-частици стават “духове”. Този процес може да се определи като “спонтанно нарушение на симетрията”.

В калибровъчните теории, законите на физиката трябва да остават инвариантрни при произволно завъртане от точка до точка на изспиновите стрелки.

Действието на Хигс-полето създава специална система, която може да бъде определена от ориентацията на изоспина.

Хигс-полето може да се представи като стрелка, която се наслагва върху другите изоспинови индикатори във въображаемото вътрешно пространство на адрона. Хигс-полето определя отправна система (зелените стрелки), чрез която могат да бъдат разграничени от протоните от неутроните. Стрелката на хигс-полето се върти съвместно с другите стрелки при калибровъчни трансформации и следователно не определя абсолютен посока на ориентация, но относителната ориентация на изоспиновите стрелки може да се измери по отношение на посоката на Хигс.

С въвеждането на полето на Хигс, абсолютната ориентация на стрелките не може да бъде фиксирана, защото стрелката, представляваща полето на Хигс, също се върти при калибровъчни трансформации – единственото нещо, което може да се измери е ъгълът между стреките на хигс-полето и изоспиновите стрелки, с други думи, тяхната относителна ориентация.

Отличителна черта на “стрелката” на полето на Хигс е фиксирана й дължина, се определя от вакуумната стойност на това поле. Ориентацията на другите изоспинови ‘стрелки” сега може да бъде измерена по отношение на оста, определена от хигс-полето. По този начин, протонът може да бъде разграничен от неутрона

Така, можем да отговорим на въпроса “Защо квантите на електрослабите взаимодействия имат маса?” – защото бозоните на Янг-Милс “изяждат” бозоните на Хигс.

Източник:

The Goldstone Theorem for Real Dummies, A Quantum Diaries Survivor, Tommaso Dorigo

Gauge Theories of the Forces between Elementary Particles, Hooft G.—Scientific American, June 1980

Именная частица, Алексей Левин

Загадки массы, Гордон Кейн (Gordon Kane)

К открытию бозона Хиггса, Валерий Рубаков.

Хиггсовский механизм нарушения электрослабой симметрии

Quantum Bits. What’s this Higgs boson anyway ?

Why the Higgs Field is Non-Zero on Average

Open Questions: Higgs Physics

Механизмът Хигс, Александър Лютов