През 1954 г. Янг Чен Нинг (Chen Ning Yang) и Робърт Милс (Robert L. Mills), които са работили заедно по това време в Националната лаборатория Брукхейвън, публикуват кратка статия, която и до днес служи за основа квантовата теория на полето. Те нарекли теорията си "теория на B-полетата", но сега е по-известна като "теория на Янг-Милс".

Още през 1920 г. е била установена връзката на калибровъчната симетрия с електромагнетизма, но този факт не предизвиквал голям интерес. Янг и Милс първи път са се опитали да приложат тази симетрия за изграждане на уравнения, които да описват и други частици освен електрона като обърнали внимание на протоните и неутроните.

Въпреки, че тези частици, които не са еднакви, по отношение на ядрените сили се държат почти идентично и имат почти една и съща маса. През 1932 г. Вернер Хайзенберг доказва, че протона и неутрона могат да бъдат формално считани за различни състояния на една и съща частица. За да ги опише, той въвежда ново квантово число – изотопния спин. Тъй като силното взаимодействие не прави разлика между протони и неутрони, то запазва пълния изоспин, точно както електромагнитното взаимодействие запазва електрическия заряд.

От глобални трансформации към локални

Вдъхновени от успеха на вече известните калибровъчни теории, тези теоретици тръгнали от фактите, установени от глобалната симетрия и анализирали до какви последици ще доведе замяната й с локалната калибровъчна симетрия, да допълнят изискванията на глобалните инвариантност с изисканията на локалната инвариантност.

Симетрията в Янг-Милсовата теория е симетрията на изотопния спин (изоспина). Тази симетрия посочва, че силното взаимодействие е инвариантно, ако се разменят всички протони и неутрони. В рамките на глобалната симетрията, всяко завъртане на вътрешните “стрелки’, които фиксират изоспиновото състояние, трябва да се извършва едновременно и навсякъде.

Но нищо не би се променило, ако не извършим тази вътрешна ротация за цялото пространство, а само за някаква част от него. В математиката, това се нарича прехода от групи на глобални трансформации групи към групи на локални трансформации.

Въвеждането на локалната симетрия позволява да се променя ориентацията на стрелките по произволен начин от една точка до друга и от един момент до следващ. Завъртането на стрелките може да зависи от която и да е произволна функция. Тази свобода при избора на действащите споразумения по силата на тъждествеността на ядрените частици в различни точки в пространство-времето формира същността на локалната калибровъчна симетрия. .

Ако съществува изотопната симетрия, то изборът кое положение на вътрешната стрелка ще показва, че това е протон или неутрон, е изцяло въпрос на споразумение. Глобалната симетрия – горната част на схемата – изисква за цялото пространство да се приеме единно споразумение за избора на посоката на стрелката и всяко завъртане на стрелката трябва да бъдат еднакво във всички точки на пространството. В теорията на Янг-Милс, изотопната инвариантност става локална симетрия (долната част на схемата), така че посоката на стрелката може да варира от точка до точка. По този начин протоните и неутроните са неразличими.

Странните бозони на Янг-Милс

Както и в другите случаи, за да се запази инвариантността на всички наблюдавани стойности по отношение на такива локални изоспинови трансформации, трябва да се добави нещо ново, да се въведат шест векторни полета с безкраен радиус на действие, съответстващи на три безмасови векторни частици или векторни бозони.

Две от полетата на Янг-Милс могат да бъдат идентифицирани с обичайните електрически и магнитни полета. На тези две полета съответства фотона.

Останалата част от полетата на Янг-Милс също могат да бъдат взети по двойки и да се тълкуват като електрически и магнитни полета, но “фотоните”, които описват в техните свойства значително се различават от познатия конвенционален фотона – тези нови фотони, въпреки че те са безтегловни частици със спин единица, имат електрически заряд. Единият “фотон” е отрицателно зареден, а другият – положително.

Картина, акрил: Cortex, Peter Gric

Квантовата електродинамика е абелева, а теорията на Янг-Милс – не

В квантовата електродинамика, действието на преобразуването на симетрия, се състои в локално изменение на фазата на полето на електрона като взаимодействие с електромагнитното поле. Ако си представим един електрон, който последователно извършва две фазови изменения – излъчване на фотон и поглъщането му, крайният резултат ще бъде един и същ – просто алгебрична сума на всички промени, независимо от тяхната последователност.

В теорията на Янг-Милс, където действието на преобразуванията на симетрията е локално въртене на изоспина, резултатът от няколко последователни преобразувания може да бъде доста различен. Да приемем, че адронът претърпява калибровъчна трансформация A, която е била последвана от друга трансформация B, при това в края на тази последователност от трансформации изоспиновата “стрелка” е в конфигурация, която съответства на протона. Сега да предпожим, че същите трансформации се прилагат към същия адрон, но в обратен ред: трансформация A е след преобразуванието B. Крайното състояние няма да бъде същото, частицата може да бъде неутрон вместо протон. т.е. крайният резултат от двете изрично зависи от последователността на трансформациите. Това определя квантовата електродинамика като абелева, а теорията на Янг-Милс – като неабелева.

Ако една група се подчинява на комутативния закон, то тя е абелева (на името на норвежкия математик Абел) или комутативна и за нея важи: x • y = y • x , а за неабелевите групи: x • y ≠ y • x . Повече за групите на симетрия – Теорията на групите – една усмивка само.

Как този принцип се отнася към групата на трансформации може да бъде илюстрирано чрез прости примери от групите на ротациите. Всички възможни ротации на двуизмерни обекти са комутативни, така че групата на ротации е абелева. Например, при завъртане на 60 ° в една посока и 90 ° в обратната, резултатът е общо завъртане на 30 °, независимо от това, коя е била първата ротация. За триизмерни обекти произволните ротации около трите оси не са комутативни и триизмерната група на въртене е неабелева.

Неабелевите преобразувания са некомутативни: две трансформации ще водят до различни резултати, ако промените поредността. Ротациите в триизмерното пространство демонстрират тази зависимост от последователността. Теорията на Янг- Милс е неабелева, защото крайният резултат от две изотопни ротации е различен, ако промените реда на трансформациите: една последователност може да доведе до протон, а друга – до неутрон.

Подобно на теорията на Янг-Милс, общата теория на относителността също е неабелева - при две последователни координатни трансформации, реда, в който те се изпълняват, се отразява на резултата. Електромагнитните взаимодействия са вградени в една по-обща теория, която също е неабелева.

Много е вероятно, че всички взаимодействия в природата се описват от неабелеви калибровъчни теории.

Проблеми на теорията на Янг-Милс. Задача за 1 милион $

Теорията на Янг-Милс, за съжаление, няма много общо с реалността.

• Първият недостатък на тази теория е, че изоспиновата симетрия е точна и като резултат протонът и неутронът са неразличими, което очевидно не е вярно.
• Още по-притеснителна е прогнозата за електрически заредените фотони, които са задължително безмасови заради безкрайният им радиус на взаимодействие, което ако беше вярно, ще промени коренно света около нас.
• Използваните в теорията на Янга-Милс неабелеви групи на преобразувания нарушават принципа на суперпозиция: ако на частицата действат няколко полета наведнъж, техния сумарен ефект не може да се разложи на ефекта на всяко едно от тях поотделно. Оказва се, че според тази теория се привличат една към друга не само частиците материя, но и самите силови линии на полето, заради което уравнения стават нелинейни, с всички тежки последици за решаването им.

При малки константи на взаимодействието, тези уравнения могат да бъдат решени приблизително като пертубационен ред, но при големи константи на взаимодействието е все още неизвестно как да се решат тези уравнения. Също така е известно как точно нелинейността води до конфайнмента при силните взаимодействия. Решението на уравненията на Янг-Милс е сред седемте математически "Проблеми на хилядолетието" за решаването на всеки един от които Математическият институт Клей (Clay Mathematics Institute) дава награда от 1 милион долара.

Да ви припомня, че през март 2010 г., един от седемте проблеми на хилядолетието, е решен – хипотезата на Поанкаре (с която ви запознах в Хипотезата на Поанкаре) от руския математик Григорий Перелман. Той обаче отказва наградата, казвайки: "Аз имам всичко, което искам".

• Оказа се, че проблемът на теорията на Янг-Милс с безкрайността е по-сложен, отколкото в квантовата електродинамика и стандартната процедура за ренормализация не върши работа – нужен е нов механизъм. И той е намерен – механизмът на Хигс.

Стратегия за отстраняване на дефектите на теорията на Янг-Милс

Картина, акрил: Network IV, Peter Gric<

Като стратегия за разрешаване на дефектите на теорията е да се опита да се осигури изкуствено ненулева маса на кванта на зареденото поле. Предположението за крайна маса за квантите на зареденото поле не изключва съществуването на самите полета, но ограничава ефектът им на действие. По-специално, ако масата е избрана достатъчно голяма, тогава радиусът може да бъде съответно не безкраен, а малък. След като ефектите на далекодействието са елиминирани, съществуването на такива полета не противоречи на експерименталните наблюдения. Освен това, изборът на неутралното Янг-милсово поле като единствено поле с далекодействие, автоматично разграничава протона и неутрона. Тъй като това поле е електромагнитно поле, протонът и неутронът могат да бъдат разграничени по степента на взаимодействие с полето или с други думи – по различните им електрически заряди.

В резултат на тази модификация, локалната симетрия на теорията на Янг-Милс е нарушена, но тя се запазва приблизително. Сега въртенето на изоспиновите "стрелки" трябва да доведе до наблюдаеми следствия.

Освен това, при много по-малки мащаби от радиуса на действие на масивните компоненти на полето на Янг-Милс, локалната симетрия се възстановява. По този начин, по отношение на микроскопични структури, теорията може да остане локално симетрична, но такава симетрия няка да се съществува в предвижданията за наблюдаемите макроскопски събития.

Теорията на Янг-Милс е лесно да се разбере, но е трудно да й се даде и квантово механично тълкуване. Въпреки всички тези трудности, теорията на Янг-Милс е много атрактивна и с дълбоко философско съдържание.

Сериозен успех е постигнат с усилията на Ф. Енглерт и Р. X. Браун от университета в Брюксел и P. Хигс от Единбургския университет. Те намерили начин да дадат на полето на Янг-Милс маса без нарушения на точната калибровъчна симетрия. Сега, тази техника се нарича механизъм на Хигс

Източник:

Большие калибры физики, Алексей Левин

Gauge Theories of the Forces between Elementary Particles, Hooft G.—
Scientific American, June 1980

Yang–Mills theory

Проблемы 2000 года: теория Янга-Миллса , "Компьютерра" №20 от 31 мая 2006 года, Сергей Николенко

Именная частица, Алексей Левин