За широката публика четвъртото измерение често напомня за научна фантастика, паранормални явления. Някои твърдят, че там са душите на умрелите, а други поместват там и Боговете. За бедните “флатлендери”, тримерно същество, което може да преминава през “стени”, да обръща “наопаки” 2D обекти, да се появява и изчезва и пр. фокуси, ще изглежда наистина “всемогъщо”. Ето такива приказни възможности носи увеличаването на размерността само с единица. И друго – както ние, тримерните изглеждаме “всемогъщи” за 2D съществата, така биха били всемогъщи спрямо нас и съществата от 4-тото измерение.

Но как поне да “надникнем” в 4 пространството?

От математична гледна точка няма нищо сложно в 4D- пространството. Просто добавяме още една променлива (W. да речем) в уравненията и точката вече ще се определя с четири числа: X, Y, Z, W. Геометрично това се изразява просто с добавяне на още една ос, перпендикулярна на останалите три. Но целта ни е …

“Да виждаме” в 4-тото измерение

Как може да “виждаме” в четвъртото измерение? Все още не са изобретени 4D-очила, но ще се опитаме по още няколко начина.

Аналогия

За да се разбере характера на четиримерното пространство, можем да използваме методът на аналогията, т.е изучавайки как се отнасят характеристиките на обектите в (N – 1)-размерното пространство спрямо N – пространството, да си направим извода как (N + 1) -размерното пространството ще се отнасят към N -тото.

			Граници	Сечение	Образуване	Разгъвка
1D		X		точка
2D		X, Y		линия
3D		X, Y, Z		много- ъгълник
4D		X, Y, Z, W		сечението е многостен

Ако 2D фигурите са многоъгълници,  3D телата наричаме многостени, то 4D си имат специално име – политопи.

Интересно е, че както сечението на куба може да има по-голяма площ от стените му, така многоъгълникът, получен от пресичане на 4-мерното тяло с 3-мерно пространство, може да е е по-голям от ограждащите го многостени! Представете си как в n-мерен куб с ръб дори сантиметър, може да се събере например нашата планета!

4D Многостените

Аналогично на Платоновите тела, правилни многостени в четвъртото измерение са:

Любопитно е, че са с един повече, но за 5-мерното и всички по-висши размерности – са само по 3 – аналозите на куба, тетраедъра и октаедъра. Повече за многостените с размерност 4 да се намери тук, или тук, а също и тук.

	Симплекс Хиперкуб 16 (Хипероктаедр) 24 (Икоситетрахорон) 120 (Хекатоникосахор) 600 (Хексакосизор)
	Ако поставите мишката върху някое име по-горе, ще видите съответстващото му въртящо се 4-мерно тяло. Голяма красота е.

Сечения

Един от начините да се обясни на гущерчетата какво е тетраедър е да го нарежем на “филийки”. Едуин Абът многократно използва тази идея в книгата си. Този метод често се използва в томографията: разглеждат се поредица от снимки на човешкото тяло в напречно сечение, а след това се получава триизмерна картина.

Когато многостенът се премества в пространството и се пресича с равнината на гущерите, сечението му е многоъгълник. При движението на многостена, многоъгълникът се променя и в крайна сметка, изчезва в момента, когато тялото окончателно преминава през равнината. Гущерите виждат само многоъгълници, но те ги виждат в динамика,: те могат да гледат променящите им се форми. След като понатрупат малко опит, възможно е в крайна сметка да получат една интуитивна представа за това какво е многостен, въпреки че не са в състояние да го видят в пространството.

Няма да им е лесно на плоските гущери да познаят куба, виждайки шестоъгълно сечение, но ние като 3D същества, имаме известни познания на 3D геометрията, за да се досетим, че това е куб.

Aко наблюдаваме вдясно последователността на сечения на четиримерен обект с 3D пространството, може ли да разберем какво е тялото?

Вероятно не, освен ако не го знаем предварително, без интуитивно разбиране на 4D, ще е много трудно да възстановим оригиналния обект от тях.

Основният проблем с напречни сечения е, че ние не можем да видим изцяло обекта, а само “на парче”. Важни характеристики, като например броя и формата на стените, броят на върховете (ъглите), както и цялостната форма на обекта, остават скрити.

Разгръвка

Как да си сглобим тесеракт? Всеки може да си направи куб, а ето как трябва да се сгъне тесеракт: Опитайте се внимателно да залепите едноцветните страни на кубовете както е показано, като не забравяте, че ъглите остават прави, а кубовете не бива да се деформира! Успяхте ли?

Построяване

Всеки обект с N+1 размерност се образува от N-мерен като се транслира, нарастне (екструдне – не мога да намеря точен превод на думата extrude) в N+1 посока (вижте табличката с аналогиите).

Същото е и с 4D-обекта, например тесеракта (хиперкуба), само дето ни е малко трудно да го осъзнаем с разума си – вземаме един куб със страна L, екструдваме го по направление на 4-тата координатна ос W и получаваме тесеракт с обем L⁴. “Ограден” е от 8 стени-тела с обем L³.
Точно като куба и квадрата, всички ръбове в рамките на един тесеракт са с еднаква дължина и всички от ъглите са под прав ъгъл.

За най-използвания и може би най-ефективен начин – проекцията – в следващата публикация.

Източник:
4D Visualization
wikipedia-Four-dimensional space
Dimensions
Introduction to the fourth dimension
Einstein for Everyone