Въведение

Широкото приложение на методите на теорията на катастрофите започнало след излизането на книгата на един от създателите на тази теория — Рене Том, където теорията на катастрофите била приложена за изучаване на морфогенезата (формообразуването) в биологията. Teoрията на катастрофите става популярна от 1970г, когато в списание “Нюзуик” се съобщава за преврата в математиката, сравним само с изобретеното от Нютон диференциално и интегрално смятане. Твърдяло се, че докато нютоновската теория изследва само плавни, непрекъснати процеси, новата наука-тeoрията на катастрофите дава универсален метод за изследван е на всички скокообразни преходи, разриви и внезапни качествени изменения. Изводите от тeoрията на катастрофите започват да се прилагат в толкова разнообразни обекти като например, изследвания на сърдечния ритъм, геометрична и физическа оптика, икономика, хидродинамика, геология и теория на елементарните частици, лингвистика, моделиране дейността на мозъка, устойчивост на плавателни съдове и дори бунтове на затворници.

На развитието на всяка динамична система са присъщи бифуркациите(раздвоение на пътищата на еволюцията) и катастрофите. Бифуркациите са интересни с това, че не съществуват поединично – те пораждат цикли, т.е. бифуркации в ново фазово пространство. Катастрофите са неизбежни. При това, ако катастрофите от по-нисък порядък геометрично имат вид на гънка, то катастрофите от по-висш порядък са с по-сложна геометрична форма – те напомнят силно смачкана хартия. Ако се разрежат по време имат вид на сложен квазипериодичен процес. Въпрос е в това, къде води той. Съгласно известната работа на М.Фейгенбаум, веднъж възникнали в нелинейна система, бифуркациите имат тенденция неограничено да растат, докато не приведат системата до състояние на пълен хаос.

Устойчивост и катастрофи

Устойчивостта е нещо, което противостои на измененията.

Асимптотична устойчивост

Асимптотична устойчивост имат системи, които са привлечени от някакво предпочитано състояние: подобно на топче, търкалящо се към най-ниската точка в чаша или възстановяването на какъвто и да е хомеостазис от физиологическите свойства подобно температурата на тялото.

Хомеостазис:

Илюстрация: Biology 466

Животните (и растенията) имат много физиологични механизми, които са с приблизително постоянна стойност като температура на тялото, pH на кръвта , концентрация на солта, и т.н.

Техният основен принцип на функциониране е, че на измененията се противопоставят двойка механизми, които управляват и балансират в желани граници изменящите се функции подобни на температурата.

Атракторен басейн:

Атрактореният басейн има обикновено само ограничена област от стойности на стабилни променливи, към които системата може да бъде привлечена обратно в своето предпочитано състояние; това е аналогично на границите на долина; зад хребета системата се увлича в други басейни. Смъртта настъпва, когато се окажете зад пределите на хомеостатичните басейни!

Илюстрация: Biology 466

 Илюстрация: Biology 466

Катастрофична група

Катастрофата става обикновено винаги когато, ако изменяте управляващите променливи така, че в крайна сметка басейна на атрактора на старата асимптотична устойчивост бъде унищожен. Това е средство системата да прескочи в някакво ново състояние. Скокът се нарича катастрофа, а конкретните комбинации величини, управляващи променливите по границата, където се разбива гърбицата са наречени катастрофична група .

В този случай, когато броя на параметрите не превишава четири, се оказва, че може да се даде обща класификация на всички типове структурни неустойчивости, наречени елементарни катастрофи. Значението на елементарната теория на катастрофите се състои в това, че тя свежда огромното многообразие на ситуации до малък брой стандартни схеми, които може детайлно да се изследват веднъж и завинаги. Съществуват 7 канонични катастрофи за функции с една или две променливи, с по-малко от 3 оси на поведение.

Гънка (fold) Лястовича опашка (swallowtail) 1 Хиперболична омбилика Пеперуда Витло (cusp) Лястовича опашка 2 Елиптична омбилика Параболична омбилика

Катастрофи / уравнение	Брой оси на поведение	Брой параметри (Управляващо пространство)	Бележки
Гънка (fold)	1	1 (едномерно)	Бифуркационна група от една точка. Този модел е аналогичен на закона “всичко или нищо”.Няма точка на пресичане.
x3 + ax
Витло (cusp)	1	2 (двумерно)	Бифуркационна група от двете линии на сгъване и една островърха точка на сливане на двете линии.
x4 + ax2 + bx
Лястовича опашка (swallowtail)	1	3 (тримерно)	Бифуркационна група от три повърхности на точките на сгъване (линиите на изрязване в управляващото пространство), които се срещат в две линии точки на пресичане, които се самозасичат в лястовича опашка.
x5 + ax3 + bx2 + cx
Хиперболична омбилика	2	3 (тримерно)	Нулевата точка на хиперболичната група катастрофи може да се разглежда като колапс на един минимум, един максимум и две седла.
x3 + y3 + axy + bx + cy
Елиптична омбилика	2	3 (тримерно)	Нулевата точка на елиптичната група катастрофи може да се разглежда като колапс на един минимума или един максимум и три седла. при c 3 остават два седла, които се раздалечават по оста x със стойност c.
x3/3 – xy2 + a(x2 + y2) + bx + cy
Пеперуда	1	4	Управляващото пространство е четиримерно. Има три точки на пресичане. Бифуркационна група от прегънати хиперповърхности (линиите на изрязване в управляващото пространство), които се срещат на повърхност от точки на пресичане, които се самозасичат в линии на лястовича опашка. Накрая тези линии на лястовича опашка срещат заедно в точка във вид на пеперуда. В тази точка в управляващото пространство, потенциалната крива има само един минимум, който съответства на унищожаването на три минимума и два максимума.
x6 + ax4 + bx3 + cx2 + dx
Параболична омбилика	2	4	Нулевата точка на параболичнната група катастрофи може да се разглежда като колапс на два минимума или два максимума или един максимум и един минимум и три седла. Параболична омбилика е най-сложната сред 7-те елементарни катастрофи. Линията с уравнение – b = -6a2, c = 0, d = -8a3 e наречена “омбилика“.
x2y + y4 + ax2 + by2 + cx + dy

Източник: Why math isn’t just about numbers anymore!, Biology 466 Unsolved Problems Fall 2010 Анатомия катаклизма, Александр Блинков, Андрей Киселев Elementary catastrophe theory: an introduction Catastrophe theory, E. C. Zeeman Catastrophe Theory,  Eric W. Weisstein A nonequilibrium thermodynamic framework for discussing ecosystem integrity, James J. Kay Self-Organization and Leadership Emergence, Nonlin. Dyn., Psych. & Life Sciences An Introduction to Cusp Surface Analysis, Loren Cobb, PhD. A STRUCTURE FOR EMBODIED HUMAN CONSCIOUSNESS S. D. Stoney, Dept. of Physiology and Endocrinology, Medical College of Georgia, Augusta, GA 30912-3000 Social processes as dynamical processes: Qualitative dynamical systems theory in social psychology, Watters, PA and Ball, PJ and Carr Applied catastrophe theory in the social and biological sciences M. A. B. Deakin The NIB front bifurcation and spontaneous front reversals Шелепин Л. А. Вдали от равновесия О теории катастроф (Маневич Л.И. , 2000) Contrasting Concepts of Competitive State-Anxiety in Sport: Multidimensional Anxiety and Catastrophe Theories., Ivan M.McNally Dichotomy or Dialectic [Human Systems Management 4 (1983)] Jamshid Gharajedaghi The Transition As A Catastrophe: From Theory To Policy, 1994 By Gancho Ganchev CATASTROPHE TEACHER an introduction for experimentalists Self Injurious Behaviour – A Model from Catastrophe Theory Catastrophe theory, Alexei Sharov