Как да пресметнем размерността на фрактал

Метод на подобието

Това е най-простия метод за изчисляване размерността на фрактал, който използва свойството самоподобие.
Например, да вземем отсечка с размерност 1. Ако я разгледаме с увеличение 2 пъти, ще видим 2 идентични отсечки. Нека да използваме променливата D за размерност (означава степента на увеличение), и N за количеството идентични фигури.
Сега да вземем квадрат и триъгълник с размерност 2. С увеличение 2, получаваме 4 идентични фигури и в двата случая.
Сега да вземем куб с размерност 3. Отново го увеличаваме 2 пъти. Получаваме 8 идентични кубове. В тези три примера, се забелязва ясна закономерност.
Ако повдигнем увеличението на степен размерността, винаги ще получаваме количеството фигури: eD = N Така с помощта на тази формула можем да изчисляваме размерността D: D = log N / log e
Използвайки тази формула, можем да изчислим фракталната размерност на някои фрактали. Например Кривата Пеано,ще видим, че в началната фигура има идентични отсечки (N = 9).Всяка от тях е 1/3 от началната отсечка, така че увеличението е 3 (e = 3). Използвайки формулата, намираме, че D = log 9 / log 3 = 2. Крайната фигура е квадрат.
Сега да вземем друг фрактал, кривата на Кох. В него се виждат четири идентични снежинки (N = 4). Всяка от тях е 1/3 от всяка фигура, така че e = 3. За изчисление на фракталната размерност: D = log 4 / log 3 =1.26. Размерността е дроб, нещо неприсъщо за стандартната геометрия Евклид.

Геометричен метод

Методът на подобие за изчисление на фракталната размерност е много ефективен,ако имаме работа с фрактали съставени от определено количество идентични версии на самите себе си. Но опитайте да го приложите за крайбрежието на Англия. Това е невъзможно, защото там всички линии имат различни размери и изискват различни увеличения. Има прост изход от това. Знаем, че истинският фрактал има безкрайно количество детайли. Това означава, при неговото увеличение се добавят допълнителни детайли, които се прибавят към размера. В нефракталните фигури, обаче, размерът никога не се изменя
Например, нека да разгледаме схемата по-долу, където има графика на размерите на някои нефрактали под различно увеличение. Ако направите графика на логаритъма на размера върху логаритъма на увеличението,ще се получат хоризонтални прави. Това показва, че размерите не се изменят, което значи, че фигурите не са фрактали.

Сега да вземем някои фрактали и да направим същото. Сега няма да получим хоризонтални прави, тъй като с увеличението размерите растат. Това доказва,че фигурите са фрактали.

Сега можем лесно да изчислим фракталните размерности използвайки наклоните на правите. С простата формула:
фрактална размерност = наклон + 1
Геометричният метод може много ефективно да се използва за природни начупени форми с Брауново самоподобие. Използват го за да се изчисляват размерността на крайбрежията, границите и облаците.

Метод броене на клетки

Методът на подобие и геометричният метод за изчисляване на фракталната размерност изискват измерване на размера. За много фрактали това не само е сложно, но и почти невъзможно. Обърнете внимание на фрактала вдясно.

Вместо това, можем да използваме по-прост метод. Да поместим фрактала на лист карирана хартия, като страната на всеки квадрат има размер h. Нека преброим клетките, които не са празни. Броя им означаваме с променливата N. Намаляването на размера на квадратчетата прави сметката по-точна, което е равносилно на увеличение. Фактически увеличението e равно на 1/h.
В раздела за метода на подобието за изчисляване на фракталната размерност употребихме формулата D= log N / log e. Сега можем да я заменим с: D = log N / log (1/h)
Намалявайки h ще определим размерността все по-точно. За 3-мерни фрактали ще се използват кубове вместо квадрати, а за едномерните – отсечки.

Например, да изчислим фракталната размерност на фрактала Box (кутия). Поставяме го на карирана хартия – с размери на квадратите 1/3 и 1/9. В първия случай 5 клетки не са празни. Във втория – 25. В първия случай: D = log 5 / log (1/ (1/3)) = 1.46. Във втория случай отговорът е същия, което означава, че изчислената размерност е точна.

Този метод е много ефективен за природни форми, които е сложно да се измерят, особено култури бактерии.