Калибрите на Вайл

Терминът “калибровъчна симетрия” може и да не е много удачен, но е придобил популярност във времето. Той е въведен през 1920 от Херман Вайл (Hermann Weyl), в статията му “Гравитация и електроенергия”, в която той се опитва безуспешно да формулира теория, която би могла да обедини електромагнетизма и общата теория на относиггелността. Вайл записал уравненията на гравитационното поле в пространство с различна геометрия от тази, която е ползвал Айнщайн.

Успоредното пренасяне на вектор от A → B → C → A около геодезически триъгълник върху двуизмерна повърхност S2, завършва в началната точка A с различно направление, но запазвайки размера си.

Илюстрация: stanford.edu/

Уравнения на общата теория на относителността се записват в риманово пространство, изкривено четиримерно пространство-време с еднозначна метричност. За разлика от Евклидовото пространство, където при транслация на произволна вектор по затворена крива при завръщането си в началната точка, той ще бъде в същото положение, в риманово пространство след такова пренасяне, векторът се сключва ненулев ъгъл с началната си позиция, а този ъгъл ще е мярката за кривината на пространството в тази точка. След тази операция на транслация обаче, дължината на вектора остава същата, т.е. имаме еднозначна метричност.

Но Вайл се отказва и от това ограничение, той предположил, че уравненията не е необходимо да зависят от мащаба, с който се измерва дължината на вектора. В геометрията на Вайл, мащабът непрекъснато варира от точка до точка, а с него се променя и дължината, но съотношението на тези дължини за всяка двойка вектори с общо начало, остава непроменено. Тази операция по смяна на мащабите Вайл нарича прекалибровка като калибровъчната инвариантност при него е еквивалентна на мащабна инвариантност. Вайл въвежда математически правила, за да се определи дали два вектора в съседни точки имат една и съща дължина, без да се знае колко са дълги. Тези правила той тълкува като уравненията на Максуел за електромагнитните потенциали. Промяната на дължината на вектора се определя от тези потенциали. По същият начин, промяната в ориентацията на вектора се определя от кривината на пространство, проявяваща се чрез гравитацията.

Въпреки красотата на модела на Вайл, той се оказва физически несъстоятелен, защото не се съгласува с експериментите и така се туря точка на тази обединяваща електричеството и гравитацията теория. По-късно става ясно, че идеята за калибровъчна инвариантност е разумна и не е за изхвърляне, Вайл е сбъркал само областта й на приложение.

През 1927 г., Фриц Лондон (Fritz Wolfgang London) предлага нова интерпретация, като част от квантовата физика, на теорията на Вайл. Тя се оказва изключително ефективен подход към изграждането на теории за строежа на микрокосмоса, с чиято помощ през втората половина на XX век е създадена единна теория за трите фундаменталните взаимодействия – силните, слабите и електромагнитните, получила името Стандартен модел.

Глобални, локални и вътрешни симетрии

Свойствата на глобалната симетрия се основават на самите свойства на пространството и времето – хомогенността на пространството и времето и изотропността на пространството – и са свързани чрез теоремите на Ньотер със законите за запазване на енергията, импулса и момента на импулса в природата. В този контекст, думата “глобални” означава: “срещащи се навсякъде и едновременно“.

Важна в квантовата теория на полето е още един вид симетрия, т.н. вътрешна симетрия. Най-простият и най-известният пример за вътрешна симетрия е изоспиновата симетрия. Неразличими при силните взаимодействия, протонът и неутронът се различават само в рамките на електромагнитните взаимодействия като две различни изспинови състояния на eдна суперчастица – нуклон. Теоретично, преходът от една частица в друга, се изразява чрез трансформация на симетрията. Наблюдаемите протон и неутрон са продукт на дискретни положения на вектор във вътрешното пространство на една суперчастица – нуклон. Пример за вътрешна симетрия е U (3) симетрията, съответстваща на модела от три кварка.

Локалната калибровъчна симетрия

Последователното прилагане на  принципа на близкодействието върху преобразуванията на симетриите води до класа на т. н. локални преобразувания, които засягат малка област от пространството, разпространяват се от една точка до друга в пространството. В квантовата теория на полето, този процес на разпространение на преобразуванията на симетрията се изразява чрез въвеждане на специално квантово поле. Това е т.н. калибровъчно поле. С въвеждането му е свързан принципа на локалната калибровъчна симетрия, който важи за всички видове фундаментални взаимодействия. Този принцип съчетава принципа на локалността на преобразуванията на симетрията и запазването на свойството на инвариантността на квантовото поле по отношение на преобразуванията на групата на вътрешните симетрии.

Глобална симетрия означава, че ако завъртите векторите на всички частици, които изпълват пространството в една и същата посока, с еднаква величина, законите на физиката не се променят.

Калибровъчната симетрия е локална трансформация, т.е трансформация на симетрията, която може да се извършва индивидуално по време и в различни точки в пространството. Калибровъчната трансформация може да изглежда много сложни, но ние можем да добием най-обща представа с този пример как декартова координатна мрежа се нарушава от нелинейна координатна трансформация.

Връзката между координатите на старата точка (х, у) и новата (х, у) е нелинейна, новите координати не са директно пропорционални на старите, връзката е по-сложна. По същия начин, уравненията на Айнщайн за общата относителност са валидни преди и след изкривяване, т.е. те са инвариантни при калибровъчни преобразувания. Промени в координатна система като тази представляват калибровъчни трансформации в общата теория на относителността.

Илюстрация: alienspacesciencenews

Трансформациите не са непременно геометрични. Те могат да бъдат математически функции или променливи, които са трансформирани в други функции или променливи, при запазване на структурата на формулата. Калибровъчните трансформации попадат в тази категория.

Принципът на локална калибровъчна симетрия установява връзката между вътрешните симетрии и пространство-времето.

Илюстрация: universe-review.ca

Тази нагледна илюстрация ще ни помогне да разберем как локална калибровъчна симетрия води до въвеждане на сили. Представете си една гумена топка с нанесени върху нея паралели и меридиани като на земното кълбо. Като я въртим около оста й, ние осъществяваме глобални трансформации на симетрията. Ако натиснем с пръст по повърхността на гумената топка, симетрията се нарушава локално, а симетрията ще се възстанови чрез компенсиращ натиск от еластичната топка.

Калибровъчната инвариантност

Всички известни взаимодействия – силното, електромагнитното, слабото и гравитационното имат свойството локална калибровъчна инвариантност. Оказва се, че принципът на калибровъчна инвариантност е фундаментален принцип във физиката. Калибровъчната теория позволява променливите, които са подложени на група локални трансформации (калибровъчни преобразувания), да останат непроменени или инвариантни.

За да се разбере калибровъчната симетрия, трябва да си припомним вълновото уравнение на Шрьодингер и че вероятността да се намира дадена частица на дадено място в даден момент се задава от квадрата на стойността на нейната вълнова функция в този момент. Една от последиците на това тълкуване е, че вълновата функция с обратен знак има същия физически смисъл, защото има един и същи квадрат. Вълновата функция има характеристиката фаза, която може да бъде променяна без видими физически последици. Тази симетрия възниква от свойствата, посочени по-рано: само квадрата на вълновата функция във всяка точка има физическата значение, така че можем да променяме самата вълнова функция, стига квадратът й да остава същия.

Нека да илюстрираме промяната във фазата на вълновата функция на свободна частица чрез въртенето на вълна около направлението на нейовото движение. Промяна на фазата по този начин е пример за калибровъчна трансформация. Това е трансформация на една от вътрешните симетрии Ако променим навсякъде фазата на вълновата функция с константа, уравнението на Шрьодингер не трябва да се промени, тъй като всички вълни с отместени фази ще са отново негови решения, т.е. калибровъчнте преобразувания с константа е симетрия на уравнението на Шрьодингер.

Тази група на трансформации на симетрията – промяна на фазата с коя да е стойност между 0 ° и 360 ° се нарича U (1). Какво означава това, ще обясня малко по-късно.

Компенсиращи векторни бозонни полета – калибровъчни полета

Калибровъчната трансформация може да приема различни стойности в различни точки в пространството, с други думи, ние можем да променяме фазата на вълновата функция с различни стойности във всяка точка като уравнението на Шрьодингер остава неизменно. Това означава, че е калибровъчно инвариантно по отношение на всички операции на групата U(1), допускащи различни фазови отмествания във всяка точка в пространството. З

а да се гарантира калибровъчната инвариантност, трябва да се въведе в уравнението още един член. Този елемент е еквивалентен на наличието на електромагнитна сила, действаща на електрона. С други думи, изискването на калибровъчна инвариантност предполага съществуването на електромагнитната сила или казано по-просто: запазването на симетрията изисква съществуването на сила. (онази сила, която би възстановила вдлъбнатината на гумената топка).

За да се покаже промяната във фазата, използваме условно въртене на вълната около посоката на движението й. Амплитудата на вълновата функция не се променя от тази трансформация, така че вълновата функция носи същата информация за позицията на частицата. Следователно калибровъчното преобразуване е симетрия на системата.

В тази диаграма е показана опростена представа на калибровъчна трансформация, като се предполага, че в рамките на половин вълна ъгълът е един и същ. Всъщност, промените са непрекъснати.

Ако уравненията, описващи полетата имат определени симетрии, то тогава силите не са произволни, а са задължени да съществуват. Силите са естествена последица от симетриите. Въпреки, че не може да се обясни защо нашата вселена е толкова симетрична, можем да се каже, че има електромагнитни, радиоактивни и ядрени сили, защото има симетрия.

Илюстрация: universe-review.ca

Инвариантността относно локалното преобразувание изисква въвеждането в теорията на компенсиращи векторни бозонни полета или с други думи – калибровъчни полета. Тези полета (и техните кванти бозони) са носители на взаимодействията. Такива са промеждутъчните векторни бозони в квантовата електродинамика като теорията на електромагнитните взаимодействия са фотоните, в квантовата хромодинамика като теорията на силните взаимодействия - глуоните, а в теорията на електрослабите взаимодействия като носител на слабото взаимодействие са W ± и Z °-бозоните.

Калибровъчни групи на симетрия. Групи на Ли

В повечето калибровочни теории, множеството от възможни трансформации на абстрактна калибровочна основа за отделна точка в пространството и времето е n-мерна група на Ли. Наречена е на норвежкия математик Мариус Софус Ли (Marius Sophus Lie), който е изобретил тази теория на групите през 1874 г.

Групата на Ли е гладко многообразие (може да си припомните какво означават тези термини от топологията в “Хипотезата на Поанкаре“), което се подчинява на свойствата на групите така, че операциите умножение и инверсия да са диференцируеми или аналитични функции. Групата на Ли е важна не само за математическия анализ и геометрията, но и за физиката и химията, където се използва за описване на симетрията на аналитичните структури.

Самият Стандартен модел се описва от калибровъчна група U(l)×SU(2)×SU(3), която е израз, съставен от три групи на Ли, свързани с операцията умножение на групи.

U(1)

Най-простата група в този израз е U (1), която се появява в съвременната формулировка на квантовата електродинамика. В математиката, групата U (1) представлява групата на всички комплексни числа, равни по модул на единица, а също и едномерна група на Ли и се представя като окръжност.

За случая на електромагнитно взаимодействие, има само един вид обекти – с двуизмерна вътрешна ротация – група U (1), където 1 означава, че има промяна само на едно свойство, а символът U показва, че трансформацията (вътрешната ротация) е унитарна, В квантовата физика, унитарността е ограничението сумата от вероятностите за всички възможни резултати от дадено събитие да е винаги единица. U (1) групата има свойството, че операциите по вътрешни ротации са комутативни, т.е. групата е абелева.

Тази група е еквивалентна (изоморфна) на специална ортогонална група SO (2), която е група на ротация в двумерно пространство като геометрично тълкуване – умножаването на комплексни числа всъщност е събиране на ъгли в комплексната равнина.

Симетрията U (1) се представя като кръг в комплексната равнина. Илюстрация: visualphysics.org

SU(2)

При калибровъчните инвариантности за силните и слабите взаимодействия, “вътрешната ротация” зависи от повече от един параметър, затова в скобите се изписва 2 или 3. Тези групи не са комутативни, те са неабелеви. SU означава специална унитарна група. Тя представлява група от унитарни матрици от някакъв порядък (в скоби) с детерминанта равна на 1, като унитарните матрици са свързани груповата операция умножение. За матрици с размер n × n , специалната унитарна група е SU(n). SU(n) е еквивалентна на група ротации на реално пространство с измерение n² -1.

Слабите взаимодействия се описват от група SU(2), съответстваща на изоспиновата симетрия, която се основава на сходството между горни и долни кварки. Тя е приблизителна симетрия, защото горният и долният кварк са много подобни, но не идентични. Ако се приложи унитарна трансформация на група SU(2), тя ще превърне всички горни кварки във Вселената в долни и обратно. Вътрешниата ротация се определя от три параметъра, съответстващи на три различни калибровъчни бозони: W⁺, W^- и Z⁰.

На групата SU (2) съответства специалната ортогонална група SO (3) разлагаща се на произведение от 3 ротации. Всъщност, групата SU (2) е изоморфна на групата на кватерниони с модул (абсолютна стойност) 1. Какво е кватернион?

Преди малко говорихме за комплексна равнина (равнина, в която могат да се изобразят комплексните числа). Хамилтон, обаче търси начин да разшири понятието за комплексно число в повече пространствени измерения. След като не успява с тримерното пространство ( по-късно се доказва, че това е невъзможно), опитва с 4-мерното пространство и успява. Така дефинира хиперкомплексните числа, образуващи векторно пространство с размерност 4, наречени още кватерниони. Ако за обикновените комплексни числа е прието: i² = −1 , то за кватернионите е: i² = j² = k² = ijk = −1

SU (2) може да е отъждестви топологично с триизмерна сфера в четиримерното евклидово пространство. За съжаление, във физическия свят не можем да наблюдаваме триизмерна сфера. Как да си представим обвивката на 4D кълбо съм показала в статията:  Хиперсфера.

Симетрията SU(2) е в основата на слабата сила на радиоактивния разпад. Изненадващо, но тя може да се представи по този начин – от векторната част на 4D сфера с радиус 1 и експонента с модул винаги равен на 1. Илюстрация: visualphysics.org

SU(3)

SU(3) отговаря за силните взаимодействия и може да се отнесе към т.н. ароматна симетрия, , съответстваща на сходството между горни, долни и странни кварки. Тя също е приблизителна симетрия, нарушавана от различията в масите на кварките и електрослабите взаимодействия. Но въпреки това, частици могат да бъдат хармонично разделени на групи, които видяхме в декуплетите.

Групата SU (3) се представя от плътна еднородна 4-мерна сфера с радиус (модул) 1. Симетриите U (1), SU (2) и U (1) xSU (2) се вижда, че са подгрупи на SU (3). Илюстрация: visualphysics.org

SU(2)×U(1)

Теорията на електрослабите взаимодействия, основана на калибровъчната група SU(2)×U(1), обяснява и прогнозира нови явления. Така е предвидено и потвърдено експериментално съществуването на W и Z-бозоните през 1983 г. в коладера в CERN. Групата SU(2)×U(1)×SU(3) също прогнозира съществуването на нови частици като Ω^-, потвърдени експериментално.

Бозонът на електромагнитните взаимодействия е безмасовата частица фотон, но групата SU(2)×U(l) взаимодейства със скаларното хиггсово поле и бозоните на слабите взаимодействия придобиват маса (Z⁰ и W^±) при спонтанно нарушение на симетрията.

 Лагранжиан

Луи Лагранж, френски математик от 18-ти век, успява да формулира уравнение, което с успех се използва и в съвременните теории във физиката. То се основава на принципа на най-малкото действие и описва динамиката на една механична система в най-обща форма, използвайки обобщени координати и импулси.

За всяка механичната система може да се изгради една функция, наречена лагранжиан или функция на Лагранж . Ако се минимизира нейния интеграл (съгласно принципа на най-малкото действие), това би дало прогнозата за поведението на системата, например – в класическата механика – траекторията на движещия се обект. В квантовата механика, понятието “траектория” няма смисъл, но концепцията на лагранжиана е запазена и може да се използва за предсказване на поведението на вълновите функции на частиците.

За да се формулира калибровъчна теория на полето е необходимо динамиката на физическите полетата да се описва от лагранжиан, като се допускат трансформация с произволни функции на координатите и времето, които не променят лагранжиана, т.е. имат някаква локална вътрешна симетрия. С други думи, тази функция – лагранжианът, е инвариантна при непрекъсната (гладка) група локални трансформации.

Повечето физични теории са описани от лагранжиани, които са инвариантни при трансформации на координатната система, които се извършват по един и същ начин във всяка точка на пространство-времето, т.е. имат глобални симетрии. От симетрията на лагранжиана по отношение на определена група от преобразувания, следва конкретен закон за запазване според теоремата на Ньотер.

Основната концепция на калибровъчни теории е, че лагранжианът трябва да притежава локални симетрии, т.е. търсят се такива преобразувания, които лагранжианът ще “издържи”, при които свойствата на системата няма да се изменят.

Лагранжианът позволява да се пристъпи към разглеждането на системи с безкраен брой степени на свобода, т.е. полета. В този случай, получаваме плътност на лагранжиан, която често се нарича просто лагранжиан.

Калибровъчните теории

Калибровъчните теории (теории на мащаба, G-инвариантни теории) са теории на полето. Те предоставят цялостната математическа рамка, контролираща кинематиката и динамиката (колко частици се движат и как се държат) на полето като цяло в пространство-времето, като същевременно позволяват да се осъществяват малки локални вътрешни трансформации.

Картина, акрил: Realignment, Peter Gric

Нито едно от основните полета не може да бъде непосредствено измерено, но могат да бъдат измерени величини, свързани с тези полета като заряд, енергия на частиците и скорост на частиците. Тези наблюдаеми качества не се променят при калибровъчни преобразувания, въпреки че са свързани с полета, които се променят при преобразуването. Най-простата и най-старата от калибровъчните теории е калибровъчната теория за електромагнитното взаимодействие. В нея зарядът на електрона се сравнява (калибрира) със заряда на друг електрон. Единственият начин да се сравни, “калибрира” е да се изпрати от единия до другия електрон сигнал и да проверим как ще реагира електрона.

Калибровъчният сигнал в случая, е фотон, калибровъчната частица на електромагнитното взаимодействие. Въпреки, че фундаменталните взаимодействия и съответните им калибровъчни полета имат някои общи свойства, в квантовата теория на полето тези взаимодействия са представени в отделни полеви теории, с които бегло съм ви запознала в Бозоните и фундаменталните взаимодействия

• Квантовата електродинамика (QED)
• Теория на електрослабите взаимодействия;
• Квантова хромодинамика (QCD) и
• Квантовата теория на гравитационното поле е една още непотвърдена теория. Преките експерименти в областта на квантовата гравитация, поради слабостта на самите гравитационни взаимодействия, са недостъпни за съвременните технология, което е една от основните пречки за развитието й.

В съответствие на теоремата на Ньотер на всяка група от калибровъчни преобразувания може да бъде съпоставен закона за запазване на заряда като параметър за определяне на взаимодействието. По този начин, въвеждането на групи на калибровъчни трансформации означава въвеждането на “заряд” като теоретичен абстрактен обект, а не като емпирично определяем параметър.

Полето е кривина на някакво хипотетично вътрешно пространство

Математически, полето се интерпретира геометрично като кривина на някакво хипотетично “вътрешно” пространство. Величината на заряда се измерва от пълната “вътрешна кривина” на това хипотетично “вътрешно” пространство около частицата. Калибровъчните теории на силните и слабите взаимодействия се различават от електромагнитната калибровъчна теория само по вътрешната геометрична “структура” на съответния “заряд”.

Отново експериментът с двата процепа на Юнг

Квантовомеханичното тълкуване на експеримента с двата процепа на Юнг е, че електронът-вълна на първия екран се разделя на два снопа, които след това взаимно се интерферират. Комплексната вълнова функция на всяка квантова частица може да се представи като вектор, чиято посока определя фазата на частицата. Когато вълните се среща във фаза,  интерференцията води до увеличаване на резултантната амплитуда и на задния екран се регистрират много електрони, а там, където вълните се срещат с противоположни фази, интерференцията намалява електроните.

Холандският физик Герардус ‘т Хоофт в статията си в Scientific American – Gauge Theories of the Forces between Elementary Particles (“Калибровъчни теории на силите между елементарните частици”) дава пример с експеримента с двата процепа на Юнг Излиза, че това, което определя интерференчната картина е само фазовата разлика. Ако двете вълни са с фази, изместени с една и съща величина, т.е. фазовата разлика във всяка точка ще бъде еднаква, тогава интеференчната картина няма да се измени – ще си останат същите редуващи се ивици. Този вид симетрии, за която фазата на квантовото поле може да бъде избрана произволно, са калибровъчните симетрии. Казано по-просто, калибровъчната инвариантност, или симетрия, означава, че нещо – например електричният потенциал в електродинамиката може да бъде “прекалибриран” или променен така, че това да няма наблюдаем ефект.

Илюстрация: fineartamerica.com

Въпреки че абсолютната стойност на фазата не се отразява на резултатите от експериментите, все пак тя се фиксира, като изборът от стойността й може да бъде направена по преценка на теоретика, което се нарича елиминиране на калибровъчния произвол на теорията.

Локалната калибровъчна инвариантност означава, че електричният потенциал може да бъде променен с различни величини в различните точки на пространство-времето, без това да промени уравненията на Максуел. Някои теоретици твърдят, че фундаменталните сили са израз на стремежа на природата да поддържа локалните калибровъчни симетрии в света.

Класически електромагнетизъм

Класическият електромагнетизъм е исторически първата теория с локална калибровъчна симетрия.

Ако f = f(x,y,z,t) е произволна скаларна функция и променим потенциалите на електромагнитното поле така:

, където знакът ∇ е набла или оператор на Хамилтон и в случая изразява градиент, то поведението на системата няма да се промени.

Какво е “оператор”?

Тъй като материята е такава, че изисква употребата на някои математически понятия, които не се изучават в гимназията, след лагранжиана, реших да обясня простичко и какво се разбира под “оператор” в математиката, която обслужва съвременната физика.

Оператор означава действие (операция), което се извършва над някакъв обект. Например, операторът на Хамилтон (∇ – набла) “умножава” функция на вектор, съставен от символите на частни производни: . Трябва да отбележа, че това не е реално умножение на два обекта, а просто удобна форма за запис на операцията.

По същия начин, операторът на Лагранж представлява някакви действия, които трябва да се извършат с функцията, към която ние прилагаме този оператор.

Калибровъчна симетрия в квантовата електродинамика

Квантовата електродинамика, както подсказва името, съчетава идеята за квантуването и електродинамиката. Теорията на относителността е вградена в класическата теория на Максуел като симетрия по отношение на групата на Лоренц. В класическата електродинамика има Лоренцова симетрия, която е глобална, и калибровъчна симетрия. Проблемът на квантовата електродинамика е да се пренесе описанието на електромагнетизма със запазване на локалната калибровъчна симетрия в квантовата област.

Задаването на локална калибровъчна симетрия води до необходимостта от съществуването на електромагнитното поле. Между другото, по същия начин може да се изведе съществуването на гравитационното поле като се избере като локална симетрия свободата да се избира коя да е координатна система.

Симетрията на електронното поле е глобална симетрия – фазата на полето трябва да се измества еднакво навсякъде по едно и също време, но тя не е инвариантна по отношение на съответните локални калибровъчни преобразувания. Ако в експеримента с двата процепа на единия процеп сложим прибор, който да измества фазата на вълна на 180 °, интерференчната картина ще се промени. Позициите на всички върхове и падини ще се разменят.

Картина, масло: Nucleus-Geometry, Peter Gric

Да предположим сега, че е желателно да се приведе теорията в съответствие с преобразуванията на локалните калибровъчни симетрии като се добави още едно поле, което да компенсира измененията във фазата на електронхата вълна. Новото поле трябва да запази инвариантността на всички наблюдаеми величини, докато фазата на електронното поле варира произволно от една точка до друга и от един момент време до следващ.

На промяната на фазата, математически може да се съпостави произволна функция на координати и време. Оказва се, че е лесно да се изгради такова поле и то е векторно, съответстващо на квант със спин единица и с безкраен радиус на действие, което пък от своя страна означава, че квантите на полето трябва да са безмасови. Това поле е електромагнитното, чийто квант е фотона. Как електромагнитното поле осигурявата калибровъчната инвариантност на полето на електронната вълна? Действието на електромагнитното поле се състои да се прехвърлят сили между заредени частици, а тези взаимодействия се осъществяват чрез прехвърляне на фотони. Когато един електрон излъчва или поглъща фотон, се премества фазата на електронното поле. Така електромагнитното поле има точна локална симетрия

Ще използваме електрически и магнитни полета, като пример за полета в опростен двумерен вариант – електрическите полета (E) около положителните и отрицателните заряди и магнитни полета (В) около магнитните полюси север и на юг. Тези две полета се предизвикват взаимно. Движещ се електрически заряд индуцира магнитно поле и движещ магнитен заряд индуцира електрическо поле, показват как тези две полета са свързани като част от базовото електромагнитното поле.

Илюстрация: wikipedia

Връзката между двете полета – електронното и магнитното, лежи във взаимодействието на заряда на електрона с електромагнитното поле. Така разпространението на електронната вълна в електрическо поле може да бъде описана от електрическия потенциал, аналогично електрон в магнитното поле – от магнитния вектор-потенциал. Поради тази причина, фазата на полето на електронната вълна може да има всякаква стойност за всяка точка, но тази фаза трябва винаги да бъде съгласувана с условията, приети за електрическия и магнитен потенциал.

За експеримента с двата процепа може да се каже, че ефектите, възникнали от преместването на фазата на електрона, могат точно да се имитират с прилагането на електромагнитно поле – в процепа вместо отразяваща плочка, може да се постави магнит и ефектът върху интерференчната картина ще е неразличим.

Тъй като калибровъчните условия на електрическия и магнитния потенциал могат да бъдат избрани локално, то и фазата на електронното поле може да бъде избрана локално. Теорията, обединяваща полето на електронната вълна с електромагнитните полета, е наречена квантовата електродинамика. Формулирана първо от Дирак в 20-те години и е завършена двайсет години по-късно, около 1948 г. от Файнман, Швингер (J. Schwinger), Шиничиро Томонага и др.

Фотонът като калибровъчно поле

Оказва се, че съществуването на фотона може да бъде изтълкувано като проява на локалната калибровъчна инвариантност на функцията на движението (лагранжиан), описваща свободно поле на зареден фермион със спин 1/2, например, електрон.

В някакъв смисъл природата може би е устроена така, че първични се оказват свободните заредени частици с полуцял спин, а условието за локална калибровъчна инвариантност, което се налага на уравненията, описващо свободното им движение, предизвиква векторно безмасово поле, което се отъждествява с електромагнитното поле. Фотонът се появява не като самостоятелно фундаментално поле, несвързано с електрона, а като някакво компенсиращо поле, въведено за да получи свободния електрон инвариантност спрямо локалните калибровъчни преобразувания от абелевата група U(1).

Калибровъчни симетрии в теорията на Айнщайн за гравитацията

В “Гравитация и електроенергия” Херман Вайл тълкува по нов начин Нютоновата теория за гравитацията, като силово поле, което пронизва цялата Вселена, описва го като гравитационен потенциал – скаларна функция, която зависи от пространствените координати, но не и от времето. Силата на гравитацията във всяка точка е напълно определена от това колко рязко се променя потенциалът близо до нея, т.е. от градиента на потенциала в нея. Това внася известна неопределенност, но ако се промени стойността на гравитационен потенциал с някаква постоянна величина – градиентът ще остане същия.

По времето, когато оформянето на теорията на квантовата електродинамика е приключило, е била известна повече от 30 години друга теория, основана на локална калибровъчна симетрия – теорията за гравитацията на Айнщайн. Нейната симетрия се простира в самата тъкан, в структурата на самото пространство-време.

Свободата при избора на координатната система отразява симетрията на природата. Съществуват три симетрии – всички закони на природата са инвариантни, когато координатната система се преобразува с транслация, ротация или огледално отражение. Но този вид симетрия е само глобална.

Илюстрация: francobampi

Всяка такава трансформация е като рецепта за намиране на нови координати на точката, базирани на старите координати и тази “рецепта” трябва да се прилага едновременно и по един и същи начин върху всички точки. Общата теория на относителността се основава на това, че структурата на пространство-времето не трябва да бъде в съответствие с координатна система с прави линии и прави ъгли, а с криволинейна координатна система. Между другото, линиите на меридианите и паралелите са криволинейна координатна система и са по-подходящи за употреба, защото следват извивката на Земята. Лесно е да се направи в такава система локална трансформация на координатите. За нагледност ще предположим, че теглото се определя от вертикалното разстояние от повърхността на земята, а не от разстоянието от морското ниво. Ако издълбаем кладенец, може да променим координатната система, но не навсякъде, а само в точките непосредствено над кладенеца. По този начин, кладенецът ще представлява локалнато координатно преобразуване. Оказа се, че правилата за навигация няма да останат инвариантни след такива преобразувания. Точно същото ще се случи във Вселената без гравитацията. Самолетите, на които е наредено да летят с постоянна височина при полет над кладенеца биха внезапно потъвали надолу, а ускорението ще бъде видимо.

Точно както в електродинамика, в общата теория на относителността, локалната симетрията лесно се възстановява чрез интегриране на ново поле и това е гравитационното поле. Наличието на гравитационното поле прави възможно да си представим друго обяснение за ускорението, усещащо се в самолета, то може да се дължи не на промените в локалната мрежа, а на наличието на аномалии в гравитационното поле.

Източникът на аномалията не може да се конкретизира – той може да бъде концентрация на маса на Земята или далечен обект в космоса. Основната идея е, че локалните промени в координатната система могат да бъдат възпроизведени със съответния набор гравитационни полета. Пилотът не ще бъде в състояние да разграничи единия от другия ефект, защото са неотличими влиянието на гравитацията и ускорението.

Така, както и електромагнитната теория на Максуел, Айнщайновата теория на гравитацията дължи своята красота на локалната калибровъчна симетрия.

Източник:

Elementary Particles and the World of Planck Scale
Универсализация идеи развития в. физической картине мира как результат революции в квантовой релятивистской физике, Добронравова И.С. Синергетика: становление нелинейного мышления. К., 1990.
Большие калибры физики, Алексей Левин
Gauge Theory and the Standard Model
Фундаментальные проблемы физики высоких энергий и принцип симметрии. , Д.С. Блау
Фотон как калибровочное поле, Ядерная физика в Интернете, Проект кафедры общей ядерной физики физического факультета МГУ
Gauge Theories of the Forces between Elementary Particles, Hooft G.— Scientific American, June 1980
Galileo’s Finger: The Ten Great Ideas of Science, P.W. Atkins Gauge Symmetry in Quantum Mechanics Hermann Weyl, stanford.edu
Ten Lessons from the Standard Model By Frank Wilczek
Gauge Symmetry in Quantum Mechanics, UC San Diego
Проблемы 2000 года: теория Янга-Миллса , “Компьютерра” №20 от 31 мая 2006 года, Сергей Николенко