Ефектът забавяне на времето и скъсяване на дължините

Специалната теория на относителността прогнозира парадоксални и противоречащи на интуитивните ни представи за света ефекти, които се появяват, при скорости, близки до скоростта на светлината.По силата на принципа на относителността, действащ в инерциални системи K и K’ , за наблюдател от K едно явление, ставащо в K’, изглежда точно така, както наблюдател от K’ би виждал същото явление в K, ако условията на опита са напълно еднакви. Това е много важно за разбирането на следващите явления, които изглеждат на пръв поглед парадоксални. Алберт АйнщайнИлюстрацията е на филипинския сюрреалист Norvz Austria

Релативистично свиване на дължините. Лоренцово скъсяване

Едно от най-специфичните явления, свързани със Специалната теория на относителността (СТО) на Айнщайн е, че линейният размер на едно движещо се тяло спрямо друга отправна система, се скъсява по направление на движението.Този ефект се нарича Лоренцово скъсяване.

Ефектът е значителен, само ако скоростта на обекта по отношение на наблюдателя е сравнима със скоростта на светлината.

Скъсяването на кораба е почти незабележимо дори при 20% от скоростта на светлината и не е голямо дори при 59%. Релативистичните ефекти се усещат, когато скоростта на обекта е много близо до скоростта на светлината. Забележете, че височината на космическия кораб не се променя, а само дължината му.
v=0.00 v=0.20 v=0.40 v=0.59 v=0.79 v=0.99

Как се променя корабът Enterprise в зависимост от скоростта му, която е представена като част от скоростта на светлината.

Илюстрация: faculty.wcas.northwestern.edu

Да изведем формулата

Стойността на Лоренцовото скъсяване може лесно и точно да се намери:

Нека имаме две пръчки, свързани неподвижно едната с инерциална система K , другата с инерциална система K’, успоредно на оста x.

Нека K’ се движи равномерно и праволинейно със скорост  v  , успоредно на оста x на другата инерциална система K. Спрямо собствената система координатите на прътите са неизменни ( x1 и x2 спрямо K, а x1 и x2 спрямо K’), но как стои въпроса, ако ги измерим спрямо другата координатна система?

  • дължината на пръта в K’, мерена от K

Нека в момент t от неподвижната инерциална система K, измерим пръчката, лежаща в движещата се инерциална система K’, чийто координати x1 и x2 са постоянни спрямо K’.

Тогава формулите за Лоренцовите преобразувания. ни дават възможност да напишем равенствата::

Последици, произтичащи от трансформацията на Лоренц и Последици, произтичащи от трансформацията на Лоренц
Трябва да ви припомня, че ако в момент t сме измерили едновременно x1 и x2 спрямо K, то това няма да е едновременно спрямо K’., т.е t1 и t2 са неизвестни и задължително разновременни, както се уверихме в Относителност на едновременността. Алберт Айнщайн

Тъй като са успоредни осите x на двете инерциални системи, може да изведем дължината L’0 = x’2 – x’1 и L = x2 – x1 , то:

Последици, произтичащи от трансформацията на Лоренц или Последици, произтичащи от трансформацията на Лоренц

Понеже v/c < 1, то L0 > L. Дължината L0, измерена в система, свързана неподвижно с пръчката , се нарича собствена дължина и е най-голямата дължина, която може да се измери, във всяка друга система, спрямо която пръчката не е в покой, тя ще е по-къса.

Нека се убедим в равноправието на системите според принципа на относителността:

  • дължината на пръта в K, мерена от K’

Да разгледаме дължината на пръчката, лежаща в неподвижната инерциална система K, като я измерим от движещата се инерциална система K’. За x2 и x1 имаме:

Последици, произтичащи от трансформацията на Лоренц и Последици, произтичащи от трансформацията на Лоренц
Заради едновременното измерване от K’., t1‘ = t2и тъй като L0 = x’2 – x’1 и L = x2 – x1 , то:

Последици, произтичащи от трансформацията на Лоренц или Последици, произтичащи от трансформацията на Лоренц

Формулите са идентични, тоест , за наблюдател от K дължините на обекти в K’, ще бъдат точно толкова съкратени, както за наблюдател от K’ дължините в K.

Алберт Айнщайн
Ако въведем коефициента (фактора) на Лоренц: Последици, произтичащи от трансформацията на Лоренц , можем да запишем
L=L0/ γ или L0=L.γ
(с увеличаване на скоростта v, коефициентът на Лоренц γ расте, а дължината L се свива)
Отправна система “Земя” Отправна система “Enterprise”

Да не забравяме, че скъсяването на дължините не е свързано с никакви механични деформации, а е по-скоро като зрителното възприемане. Ако един влак преминава покрай вас обикновено за 2 минути, ако увеличи скоростта си двойно, би преминал за 1 минута.

Кой е точния ъгъл, под който се вижда дървото?

Зависимостта на размера от избора на отправна система може да ви се струва лишена от здрав смисъл и противоречаща на опита ни, но това не е точно така, ако погледнем на измеренията на телата от една по-обща гледна точка.

Нека ви попитам: “кой е точния ъгъл, под който се вижда дървото α1 или α2?”.Въпросът е безсмислен, ако не се укаже от коя точка е измерен ъгъл. По същия начин е безсмислено да се каже, че “някакво тяло има еди какъв си размер”, без непременно да се каже и спрямо коя отправна система е толкова. Алберт Айнщайн

Ефектът забавяне на времето

Друг интересен ефект-следствие на специалната теория на относителността е ефектът на забавяне на времето или казано просто: часовникът, движещ се спрямо наблюдателя, върви спрямо него по-бавно, отколкото часовникът на ръката на наблюдателя.

Формулата

С колко точно се забавя времето може да получим от формулите за Лоренцовите преобразувания:

Последици, произтичащи от трансформацията на Лоренц, където

  • Δt’ – времето между две събития на движещ се обект от гледна точка на наблюдател в покой;
  • Δt - времето между две събития на движещ се обект от гледна точка на наблюдател, движещ се с обекта;
  • v – относителната скорост на обекта
  • c – скоростта на светлината във вакуум.

Ако v = c , то Δt’ → ∞ или за частици, движещи се със скоростта на светлината, времето е спряло.

Собствено време

Интервалът от време между две събития измерен в отправна система, спрямо която събитията се извършват в една и съща точка, се нарича собствено време.

Светлинни часовници

Да си представим един светлинен часовник, който се състои от две огледала и светлинен лъч, който се отразява периодично помежду им. Светлинният часовник ще отмерва времето като се отбелязва всеки път, когато светлинният импулс стига обратно до долното огледало, както е показано вдясно. Има двама наблюдатели, единият в отправна система K, а другия в отправна система K’ и двамата със светлинни часовници, които са в покой един спрямо друг. Двете огледала са разделени на разстояние L, което светлинният импулс изминава за време Δt0 = L/c .

Нека сега отправна система K’ да се движи със скорост  v  спрямо неподвижната отправна система K, в посока, перпендикулярна на траекторията на светлинния импулс.

Според наблюдател в K’, часовникът му ще върви със същата скорост както, когато беше неподвижен.

Но за наблюдател от неподвижната отправна система K , времето, за което светлинният импулс изминава от огледало до огледало в подвижната отправна система K’ ще бъде по-дълго или часовникът в нея ще работи по-бавно.

Светлинният импулс преминава спрмо неподвижната отправна система K разстоянието между огледалото поо хипотенузата на триъгълник с катети L = cΔt0 и vΔt. Импулсът се движи със същата скорост c, както в неподвижната отправна система K.

Ако използваме теоремата на Питагор: (cΔt0)2 = (cΔt0)2 + (vΔt)2 и ако изведем Δt, ще получим същата формула за забавянето на времето. А според нея, ако една система се движи със скоростта на светлината, времето в нея ще е спряло. А най-бързо ще тече времето в собствената ви система, наречено “собствено време”.

Равноправието на системите. Гледната точка на другия

Ако се замислим, спрямо отправна система K’, другата (неподвижната) отправна система K се отдалечава със скорост v и следователно за наблюдател в K’, часовник в K пък ще изостава. Има ли тук парадокс? Според принципа на относителността, двамата наблюдатели са равноправни и няма противоречие.

Едно просто геометрично обяснение

Имаме две коли, A и B, които тръгват от една и съща точка и с една и съща скорост в леко различни посоки. Може да изберете от чия гледна точка ще наблюдавате – спрямо автомобил A или спрямо BХоризонталните линии представят напредването на двата автомобила по отношение на този автомобил, който сте избрали (A или B). Той винаги изглежда по-бърз, а другият автомобил, по-бавен спрямо избрания.Ако заменим колите с часовници и вместо да изчертаем две пространствени измерения, да приемем вертикалната ос за време, а хоризонталната за пространство. Ако изберем гледна точка A, ще видим, че часовник A се движи нагоре, т.е. той се движи във времето, но не и в пространството. В тази схема, часовник A се счита в състояние на покой. Часовник B се движи надясно и нагоре с постоянна скорост и изостава от времето на A. От гледна точка на A,  часовникът B тиктака по-бавно. Ако изберем гледна точка B, ролите се разменят, според B, A напредва по-бавно, времето в A тече по-бавно. Анимацията е на  Janus58 с добавени функционалности от bgchaos

Темпът на времето е относителен и ако заявим: “часът е еди колко си”, трябва непременно да кажем и спрямо коя отправна система е толкова по аналогията, за която говорих по-рано за ъгъла, под който се вижда някакъв обект

Парадокс на близнаците

Парадоксът на близнаците се състои в следния мисловен експеримент: Представете си, че един от двама близнаци се отправя на дълго пътешествие с космически кораб с изключително висока скорост. След 5 години, стига целта си и се връща обратно. По този начин общата продължителност на пътуването е 10 години. Като се прибрал в къщи, астронавтът разбрал, че останалият на Земята близнак е остарял с , да речем, 50 години. На Земята са изминали 50 години, астронавтът е отсъствал 50 години, но за него пътуването е било само 10 години.

Алберт Айнщайн

Ако приложим първия постулат на Айнщайн за равенството на инерционните отправни системи, то можем да приемем, че космическия кораб е бил неподвижен, а Земята се е отдалечавала от него със скорост почти равна на скоростта на светлината, а после се е върнала при ракетата. Тогава космонавтът би трябвало да е остарял, а останалият на Земята близнак – по-млад. В това се състои парадокса.

Първо обяснение – звездолетът не е инерциална система

Самият факт, че близнакът-астронавт минава от една инерциална координатна система в друга, въвежда асиметрия в пространствено-времевите условия за двамата близнаци.Равноправието на инерционните отправни системи важи само за инерционните отправни системи. Това са такива отправни системи, които са свързани с тела, които се движат равномерно и праволинейно или са в покой и не са подложени на ускорения.

Равномерното и праволинейно движение е относително и за него е невъзможно да се установи с опити за две тела, които се движат по този начин едно спрямо друго, кое от от тях се движи и кое именно е в покой. Но за разлика от това, състоянието на ускорение не е относително и се установява от експеримент, усеща се лесно и в градския транспорт – при тръгване, спиране и завои.

Много автори спират до тук: Системата на звездолета не е инерциална и е неравноправна със системата на домошара на Земята – тук не важат постулатите на СТО, а на ОТО, където трябва да се въведе гравитацията, ускорението и нещата стават по-сложни.

Но бихме могли да обясним парадокса и по по-лесен начин

Геометрична интерпретация

Нека да пренебрегнем времето за ускорение, все едно че “мигновено” се постига необходимата скорост. Космическият кораб B лети с постоянна скорост v спрямо Земята до, да речем, Алфа Центавър, мигновено спира, обръща се и отново достига същата скорост, но в противоположна посока.и се връща на Земята.

От гледната точка на A, това изглежда така: B излита, обръща се и след това се връща като приемаме, че скоростта на B съвпада с тази на A в края. Когато се връща към A, ракетата B ще е назад с времето, по-малко време ще е минало за нея. След като се съберат, ще продължат заедно да се движат нагоре по диаграмата, като B се е на константно разстояние зад A .Да разгледаме сега B, който е в състояние на покой. По време на първият етап (до Алфа Центавър), А е назад във времето в сравнение с B. Когато B потегли от Алфа Центавър към Земята, в диаграмата се насочва към А (наляво), за да пресече времевата линия на A, трябва да се придвижва наляво по-бързо от A. Сега от гледната точка на неподвижната отправна система A, сега ракетата B напредва във времето много по-бавно от A, толкова, че след като се пресече с линията на A, ще бъде точно толкова зад нея, както когато събитието беше разглеждано от гледна точка на A. Така че е без значение коя отправна система ще смякаме, че е в покой – винаги ще получаваме същия резултат. Анимацията е на  Janus58 с добавени функционалности от bgchaos

Обяснение в рамките на СТО

Да предположим, че от Земята с постоянна честота се излъчва мощен лъч светлина в посока на ракетата и с този лъч се предава текущите показания на часовника на Земята. За опростяване на задачата, приемаме, че времето за ускорение е 0, скоростта на ракетата е близка до тази на светлината (за да се проявят ефектите на релативизма) и еднаква на отиване и връщане и така пътуването на може да се раздели на два симетрични етапа:

  • Първи етап – пътуване до Алфа Центавър

Ние сме в отправната система, свързана със звездолета и “виждаме”, че Земята се отдалечава от нас със скорост v, а светлинните сигнали летят към нас със скорост c. Така Земята и сигналът се движат в противоположни посоки.

Може да се изчисли колко време е минало в отправната система, свързана с ракетата, от момента на изпращане на сигнала до неговото приемане – време τ. Разстоянието S (между ракетата и Земята) е сумата от изминалия път за време τ на светлинния сигнал и на Земята:

Алберт Айнщайн

cτ + vτ = S 
τ = S/(c + v)

От гледна точка на ракетата B, часовникът на Земята “тиктака” по-рядко от часовника на ракетата и докато на ракетата е минало време τ, на Земята то ще е τ.γ (γ е коефициента на Лоренц като γ = √(1 – v2/c2). Текущото време на Земята е :

t = t0 + τγ = t0 + Sγ/(c + v)  

  • Втори етап – завръщането от Алфа Центавър към Земята

Сега Земята лети към нас (ракетата B) със скорост v, а. светлинният сигнал се движи в същото направление. Земята лети зад сигнала и само леко изостава зад сицнала ( v е близо до скоростта на светлината). Текущото разстояние от ракетата на Земята е отново S.

От гледна точка на ракетата, Земята е много далеч в момента, в който се излъчва сигнала, разстоянието до нея е значително по-голямо от S, както се вижда на схемата:Както при пътвия етап, получаваме текущото показание на часовника на Земята, но сега разстоянието S не е сумата, а разликата на изминатите пътища за време τ на светлинния сигнал и на Земята:

Алберт Айнщайн

c