Въведение

Фракталите като математически обекти са възникнали заради нуждата от научното познание и описанието на по-сложните природни системи и от математическото моделиране на природата. А златното сечение е една от най-ярките и устойчиви прояви на хармония на природата.

Човек харесва някакъв предмет заради формата му. Усещането за красота и хармония най-често произтича от съчетанието на симетрия и златно сечение. Цялото винаги се състои от части и ако те са в "златно" съотношение – помежду си и с цялото, то това винаги е белег на структурно и функционално съвършенство в изкуството, науката, техниката и природата.

Още през Ренесанса художниците открили, че всяка картина има определени точки, които приковават нашето внимание, т. н. зрителни центрове. Те са 4 и са разположени на разстояние 3/8 и 5/8 от краищата на платното. Това откритие те нарекли "златно сечение" на картината. Ако искаме да акцентираме на някой елемент от картината (фотографията) трябва да го сложим в един от зрителните центрове.

Определение

Определение: По-голямата част се отнaся към по-малката, както цялото към по-голямата. Ако по-малката отсечка приемем за единица, то може да запишем пропорцията: (Х+1) / Х = Х / 1, която се свежда до обикновено квадратно уравнение X2 – X – 1 = 0, чието положително решение е:или 1.61803398…

Това число се означава се с главната гръцка буква Ф (фи) – първата буква в името на Фидий.

Любопитно е, че 1/Ф = 0.61803398… Числото Ф е единственото положително число, което се превръща в реципрочното си при изваждане на единица. Може да се представи и като сума от безкрайния ред: Ф=1+1/(1+1/(1+1/(1+ …

или Ф=√(1+√(1+√(1+√(1+√(1+√(1+…))))))

Ф е границата, към която се стреми отношението на два последователни члена от реда на Фибоначи.

В Книга 6, на "Начала" Евклид за първи път формулира задачата за "делене на отсечка в крайно и средно отношение", а терминът "златно сечение" въвежда Леонардо да Винчи, който го използвал като пропорция на "идеалното човешко тяло". По-късно наричат златна пропорция, златен коефициент и даже божествена пропорция. Великият астроном от XVI-ти век Йохан Кеплер нарича златното сечение "едно от съкровищата на геометрията".

Геометрични построения

От "Начала" на Евклид е известен следния начин за геометрично построение на "златно сечение" с използването на линийка и пергел.

Дадена е отсечка AB
От точка В се издига перпендикуляр, равен на половината АВ. Получената точка С се съединява с точка А.
На получената линия се отлага отсечка ВС, завършваща с точка D.
Отсечката AD се пренася на АВ.
Получената точка Е дели отсечката АВ в златна пропорция.

Ортогоналната (Orthogons) система за дизайн от векове е позволявала на художници и занаятчии да създават хармонични произведения без сложни изчисления.

Auron (Златното сечение) 1/2 + √5/2 =1.618… = Φ	Diagon √2 =1.414… Формати А4, А3 и т.н.	Quadriagon 1/2 + √2/2 =1.207…	Полу diagon √5/2 =1.118…

Златни геометрични фигури

Златни правоъгълници са правоъгълници, чиито страни са в "златно" съотношение. "Златният" правоъгълник има някои интересни свойства.

Ако отрежем от "златния" правоъгълник квадрат, страната на който е равна на по-малката страна на правоъгълника, остатъка ще бъде отново "златен" правоъгълник, но с по-малки размери. Ако продължим да отрязваме квадрати, ще получаваме все по-малки и по-малки "златни" правоъгълници. При това ще са подредени по логаритмична спирала, съвсем същата като тази, която се образува от квадрати със страни, числата на Фибоначи. Полюсът на спиралата лежи на пресечната точка на диагоналите на началния правоъгълник и първия отрязан правоъгълник. При това диагоналите на всички следващи намаляващи "златни" правоъгълници лежат на тези диагонали.

	Ако разположим три "златни" правоъгълници така, че всеки симетрично да се пресича с два други (под прав ъгъл всеки към всеки, ще видим че получената конструкция може да се впише в:
	правилен икосаедър (двайсетостен) като в същото време върховете на "златните" правоъгълници съвпадат с 12 върха на икосаедъра.
	правилен додекаедър (дванадесетостен) като върховете на "златните" правоъгълници ще лежат нае центровете на 12-те страни на тялото.

Съществува и "златен" триъгълник. Това е равнобедрен триъгълник, на който отношението между дължината на бедрото към дължината на основата е 1.618. Има 36о на върха и съответно 72о при основата. Известната ни петолъчка (пентаграм-от гр. "pentagrammon", "pente" – пет и "gramma" – линии) е древен символ, образуван от 5 "златни" триъгълници, вписани в правилен петоъгълник Всяка от петте линии, съставящи тази фигура, дели другата в "златна" пропорция.