Въведение

На надгробния камък на Якоб Бернули, един от известното швейцарско семейство математици, е изсечено изображение на спирала с надпис: Eadem mutata resurgo (изменяйки се, аз възкръсвам същата). Развитието с непрекъснатото образуване на спирални цикли е едно от решенията на Природата на задачата за оптимални “жизнени маршрути”. Спиралата е една от най-разпространените фрактални форми във Вселената, описваща както взаимодействията на звездните системи и съществуването на живота.

2D Спирали

Спирали (от лат. spira, гр. speira – витка), плоски криви линии, обикалящи безброй пъти около някаква точка, които с всяка обиколка се приближават или се отдалечават от нея. Ако изберем тази точка за полюс на полярна координатна система , то полярното уравнение на спиралата има общ вид:

така, че

или при всякакво j. В частност, спирали се получават, ако f(j) e монотонно нарастваща или намаляваща положителна функция.

Архимедова спирала

Формата на спирално завитите раковини привлякла вниманието още на Архимед(3 в. до н. е.). Той видял в тях една удивителна крива, която наричат с неговото име. В съчинението си “За спиралите” той показва как намира площта на сектор от тази спирала, което бил един от първите примери за квадратура на криволинейна област.

Архимедовата спирала е крива, описана точка, равномерно движеща се по права в същото време, докато тази права равномерно се върти в равнина около точката О. Полярното й уравнение е най-простото от семейството на спиралите: , където е разстояние; е ъгъл (в радиани) k е параметър на спиралата – отместването ,като е стъпката на спиралата, която е постоянна.

play

Архимедовата спирала описва ръст, който просто нараства константно, за разлика от логаритмичната спирала, която нараства пропорционално на размерите си.

Обобщени архимедови спирали

Но излиза, че прочутата архимедова спирала е само частен случай и през 1854г. Сачи (Sacchi) , извел формулата на обобщените архимедови спирали:

=ⁿ

Като променяме n получаваме различни видове спирали,:

n=1- архимедова спирала	n=1/2-спирала на Ферма	n=-1-хиперболична спирала	n=-2- литуус

Спирала на Ферма

²=k²

Заради параболичната й формула се нарича съшо параболична спирала. Френски математик Пиер Ферма започнал да я изучава през 1636г. и й дава своето име.

За всяко положително отговарят 2 стойности на с противоположни знаци (=+k^1/2 и =-k^1/2). Като вземат и двата резултата се получава двойна симетрична спирала.

Прочутият символ от източната философия “ин и ян” е на практика спирала на Ферма. Казват, че помагала и при медитация.

Хиперболична спирала

.=1

Първо изучена от Пиер Вариньон – 1704, а по-късно от Бернули и Роджър Кот (1722).

Хиперболичната спирала е кривата, която се описва от точка, движеща се по въртяща се права така, че разстоянието й до центъра на въртене се изменя обратно пропорционално на ъгъла на завъртане.

Името хиперболична е заради хиперболичния тип уравнение. Наричат я още обратна и спирала на Кот.

Литуус (Lituus)

2.=1 Наречена е на вид тромпет от Древен Рим – lituus. Описана от Робърт Йетс и Кот. Използва се широко в изкуството под името “волюта”

Логаритмична спирала (Spira Mirabilis)

Декарт (1596-1650) я открива през 1638г. и изследва свойства й. Тя може да се опише аналогично на архимедовата, но точката върху въртящата се права не се движи с постоянна скорост, а със скорост, нарастваща пропорционално на разстоянието от центъра й. Полярното й уравнение е: =.еkj Тази спирала се нарича и равноъгълна, защото пресича всички радиуси под постоянен ъгъл, при това cotg() = k.

play

Определянето на дължината на дъгата на логаритмичната спирала е дадено от италианския учен Торичели. Дължината на дъгата е пропорционална на разликата на дължината на радиус-векторите, прекарани в краищата на дъгата.

Тя е свързана и с числата на Фибоначи и се среща при живите организми най-често. Например, с нея се описва подреждането на семената на слънчогледа, формата на раковините и др.

Мишата задача

Клотоида (крива на Корну, Ойлерова спирала, Спирала на Бернули)

Клотоидата е двойна спирала, крива, чиято кривина расте с увеличаването на разстоянието от началото. Радиусът на кривината е обратно пропорционално на дължината на дъгата, измерена от началото. пирала се определя от две уравнения с интеграли, които се смятат с приближение:
Тази крива се използва за описване на енергийното разпределение на дифракцията при един отвор във вълновата теория. Част от клотоидата е задължителна в нормите за пътно строителство за преходна крива. Тя осигурява постоянна скорост при преминаване от права в крива и обратно.

3D Спирали

Винт

Ако една точка, завъртайки се в кръг x=cos(t) и y=sin(t) се движи и равномерно в направление z, ще опише пространствена спирална цилиндрична спирала или винт. x=R.cos(t) y=R.sin(t) z=a.t      (a e константа) Винт е най-късият път между две точки върху цилиндър (при положение, че не са една над друга). Ако спиралата се върти по часовата стрелка и при това се отдалечава от нас това е дясна спирала. Стандартните винтове, гайки и болтове са винаги десни.

Конични спирали

За архимедов тип конична спирала:

x=(h-z)/h.R.cos(az)

y=(h-z)/h.R.sin(az)

z=z

където h е височина на конуса, R е радиус, а а е константа.

Локсодрома

Локсодромата е спирала, която се развива върху сферична повърхност. Тя пресичаща всички меридиани под един и същи ъгъл – свойство полезно в картографията. ) Параметрично представяне: x=cos(t) cos [1/tan (at)] y=sin(t) cos[1/tan (at)] z= -sin [1/tan (at)]      (a e константа) Може да намерите, че x2+y2+z2=1, което доказва, че локсодромата лежи върху кълбо.

Ешър – локсодроми

Ешър – curl_up

Ешър – още спирали

Ешър (M.C. Escher) е холандски художник-математик. Уникален майстор на парадоксални рисунки, невероятни пространства и фантастични мозайки. Един човек със сетива за красотата на математиката. Препоръчвам Ви го горещо.

Спирални повърхности – раковини

Ако окръжност с намаляващ диаметър се движи по траекторията на конична спирала, ще се образува повърхност на раковина. Ето системата от параметрични уравнения, които я представят: x = 2*(1 - е^(u/(6*π)))*Cos[u]*Cos[v/2]^2, y = 2*(-1 + е^(u/(6*π)))*Cos[v/2]^2*Sin[u], z = 1 - е^(u/(3*π)) - Sin[v] + е^(u/(6*π))*Sin[v]}
За охлювите, тези удивителни спирални създания, ще има повече в следващите теми .