Басейни на привличане и бифуркация

Характерно е за нелинейните системи е това, че те имат в общи линии различни атрактори. Когато има повече от един атрактор, основният въпрос е: в кой от тези атрактори системата ще завърши. ( Всички термодинамични системи имат един точков атрактор – Ентропията). Представете си, че на всеки атрактор съответства езеро или море и, че траекториите, водещи към атрактора съответстват на реките и потоците, вливащи се в това езеро. В зависимост от това, къде пада, дъждовната вода ще следва една или друга река, ще стига едно или друго езеро. Областта, от която една река получава водите си, се нарича водосборен басейн. Аналогично, всеки атрактор има басейн, който е обкръжаващата го област, пространството, което управлява, така че всички траектории, започващи в тази област завършват в този атрактор. Басейните, принадлежащи на различните атрактори се разделят от тясна граница, която може да има много непостоянна форма. За начални позиции близки до границата е много трудно да се определи към кой атрактор ще бъдат привлечени. Малки колебания могат да тласнат системата в един или друг басейн, и следователно към един или друг атрактор. Появата на такава граница, разделяща два атрактора се нарича бифуркация. Близката до границата система се държи хаотично, а в басейна нейното движение е предсказуемо – към атрактора.

Фрактали и атрактори

Фракталът е свързан с хаоса така както резултата с процеса. Природните фрактали се получават в резултат на някакво итеративно развитие, на генезис в неравновесни дисипативни среди (т.е. среди със загуби на енергия). Естественият подбор води към опреден вид като атрактор. Това са ефекти на самоорганизацията. Чувствителността на тези процеси към стартовите условия и към средата води до невъзможността за детайлно предсказване, винаги има място макар незначително, но несходство на кристалите, организмите, обществените формации и други резултати на взаимодействие на частите.

Но и сам динамичният хаос, като процес, може да има фрактален произход. Басейните на привличане на много атрактори, както странни, така и обикновени имат фрактална структура. При това фрактални са не само границите на басейните. Фрактално преплетени могат да бъдат не само границите, но и самите басейни могат да са многослойно, фрактално разбъркани помежду си, могат да бъдат мултифрактали.

И най-малкия дрейф на параметрите на системата ще доведат текущото състояние от една област на притегляне в друга, което естествено води до хаотичност и непредсказуемост на по-нататъшното поведение.

Мащабната инвариантност на фрактала не позволява да го измерим и локализираме в пространството. Същите свойства са присъщи и на атрактора, което го определя като фрактал. Измерванията определят за хаусдорфовата размерност на Лоренцовия атрактор D = 2.06, т.е. траекториите на системата са почти двумерни.

За ползата от хаоса

Въпреки мнението на майките ви, без хаос животът е невъзможен. Чрез усилването на малките флуктуации се отваря достъпа на природата към новостите. Именно хаотичното движение на жертвите им помага да оцелеят. Биологичната еволюция изисква генетична изменчивост, а хаосът поражда случайни изменения на структурата, откривайки в същото време възможността да се постави изменчивостта под контрола на еволюцията. Животът процъфтява предимно на ръба на хаоса, в условия на нестабилност и лишения.

Даже процесът на интелектуалния прогрес зависи от появата на нови идеи и намирането на нови начини да се свържат със старите идеи. Вродената творческа способност, може би, се скрива зад хаотичен процес, който селективно усилва малките флуктуации и ги превръща в макроскопически свързани състояния на ума, които ние усещаме като мисли. Понякога това могат да са някакви решения или това, което осъзнаваме като проява на волята.

От тази гледна точка хаосът представлява механизъм за проява на свободната воля в свят, който се управлява от детерминирани закони.

Въпреки сложността на поведение на атракторите, познаването на фазовото им пространство позволява да се представи поведението на системата в геометрична форма и съответно да се предскажат. И макар че да се определи местоположението на системата в конкретен момент от време в конкретна точка на фазовото пространство е практически невъзможно, областта на местоположение на обекта и стремежа му към атрактора са предсказуеми.

Аналитичният подход на теорията на хаоса става основа за много нови открития във физиката на микросвета и макросвета, в химията, в биологията, екологията, медицината. Изследванията в САЩ показаха, например, че здравото сърце работи в хаотичен режим, а преходът към регулярен режим винаги е предвещавал след около две-три седмици инфаркт или други сърдечни кризи; при тежко болните хора седмици преди смъртта е установено, че сърдечният им ритъм се стабилизира, странният атрактор се превръща в граничен цикъл, който накрая се превръща в точка. Мозъкът и нервната система също действат като хаотична система, при което странният атрактор е с дробна размерност над 2 (между 2 и 10). При заспиване и събуждане мозъкът прескача към атрактори с различни размерности. При болните от епилепсия, шизофрения, паркинсонизъм атракторът има размерност точно 2 и сигналите са подредени…