Откриването на възможността за определяне на параметрите на хаоса, да се определи поведението на нелинейните системи се счита за третото голямо откритие на 20-ти век наред с теорията на относителността и квантовата механика…Всичко може и вече се третира на практика от позициите на теорията на хаоса, влючително социалната организация, цикличностите в развитието, движението на пазарите, биологичните популации, турбуленцията на флуидите и т.н.

Основни понятия

С какви инструменти разполага теорията на хаоса? На първо време това са атракторите и фракталите.

• Атрактор (от англ. to attract – притеглям) – геометрична структура, характеризираща поведението в фазовото пространство в продължение на дълго време. Тук възниква необходимост да се определи понятието фазово пространство.
• Фазово пространство – това е абстрактно пространство, координатите на което представляват степените на свобода на системата. Например, при движениито на махалото имаме две степени на свобода. Това движение е напълно определено от началната скорост на махалото и положението му. Ако на движението на махалото не се оказва съпротивление, то фазовото му пространство ще бъде затворена крива. В реалността на Земята на движението на махалото влияе силата на триене. В този случай фазовото пространство ще бъде спирала.
• Бифуркация и Дървото на Фейгенбаум – ще им обърнем внимание в следващата тема.

Казано просто, атрактор е това, към което се стреми системата, към което тя е привлечена. Атракторът е област в пространството на възможните състояния, в които системата може да се движи, без да може да се откъсне от тях. В този смисъл, атракторът е подобен на “черна дупка” в пространството, постоянно всмукваща материя и никогда не позволяваща нещо да се измъкне. Тази област може да има различни измерения: като нулевомерния точков атрактор, и едномерния граничен цикъл, които са най-простите случаи.

Точков атрактор

Най-простият тип атрактор е точката. Такъв атрактор е махалото при наличие на триене. Независимо от началната скорост и положение, такова махало винаги ще се стреми към състояние на покой, т.е. в точка. Точковият атрактор е най-простия път от хаоса към реда. Той съществува в първото измерение на линия, която е сбор от безкрайно количество точки. Точковият атрактор води например човека неизменно към една дейност или го отблъсква от друга, подобно положителния или отрицателния полюс на електромагнитната енергия. Ние не знаем как ще се държи всяка частица от водата във вана с играещо вътре дете, но със сигурност знаем че, ако я пуснем да изтича, ще се стреми към точката на отвора на дъното.

Съществува понякога точка между привличането и отблъскването, точка-седло (инфлексна точка), в която енергиите са в баланс, просто преди една от силите да стане по-голяма от другата. С изключение на тези редки примери на инфлексна точка, това е черно-бял, “добър-лош”, целенасочен атрактор.

Цикличен атрактор (граничен цикъл)

Следващият тип атрактор е граничния цикъл, който има вид на затворена крива линия. Пример за такъв атрактор е махалото, на което не влияе силата на триене. Друг пример е биенето на сърцето. Честотата на биене може да намалява или нараства, но тя винаги се стреми към своя атрактор, своята затворена крива. Цикличния атрактор кара човека да се стреми отначало към едно нещо, а след това към друго (цикъла от сън и бодърстване, например), подобно на магнитен кръг, отначало привличайки, после отблъсквайки се, след това привличайки се отново. Той съществува във второто измерение на равнина, сбор от безкрайно количество линии.

С него се характеризира пазара, където цената се движи нагоре или надолу в определен диапазон в течение на някакъв период време. Например, високите борсови цени на зърно есента на тази година предизвикват увеличение на посевните площи следващата пролет, което, на свой ред, води до увеличаване на реколтата зърно и понижававне на цените в следващата година. След това фермерите намаляват посевните площи и т. н. Този атрактор е по-сложен от точковия атрактор и представлява основна структура за по-сложно поведение.

Тороидален атрактор

Тороидалния атрактор е още по-сложен атрактор. Той представлява сложна циркуляция, която се повтаря, докато се движи напред. Съществува в третото измерение, в тяло, което се състои от безкраен брой плоскости. В сравнение с цикличния и точковия атрактор, атрактора тор въвежда по-голяма степен безпорядъчност. Но за разлика от странния атрактор, прогнози все още могат да се правят, образеца е фиксиран и краен. Графично изглежда като геврек, автомобилна гума (тор). Той образува спираловидни кръгове на ред различни плоскости и понякога се връща в същата точка, откоято е тръгнал, завършвайки пълен оборот.

Неговата основна характеристика е повтарящото се действие. Този атрактор пресъздава нещо като хомеостазис, подобно на този, като популяцията на насекоми влияе на популяцията на жабите. В частност, присъстствието на голям брой насекоми води до увеличение броя на жабите, а големия брой жаби ще изяждат повече насекоми, което води до съкращаване популяцията на тези насекоми. Поради намаляването на храната, популацията на жабите започва да намалява. (Повече за отношенията хищник-жертва може да прочетете в темата “Модел на Волтера – Лотка“). Аналогията в психологията са сензорните функции – усещане и чувствителност.

От всичко гореказано следва, че точковия атрактор може да се представи във вид на едномерна линия, цикличния атрактор като множество линии (необезателно прави) в двумерната плоскост, тороидалният атрактор са множество линии в тримерното пространство. За да “почувствате” динамиката на тороидалния атрактор, вижте видеото по-долу:

Остана още един атрактор, по-сложен от описаните досега, но най-важен – странния атрактор, за който ще говорим в следващата тема